Question

已知：如圖，在△ABC中，A（a，0），B（b，0），C（0，c），且a、b、c滿足b=

a-c

+

c-a

-2，BD⊥AC于D，交y軸于E．
（1）如圖1，求E點的坐標；
（2）如圖2，過A點作AG⊥BC于G，若∠BCO=30°，求證：AG+GC=CB+BO；
（3）如圖3，P為第一象限任意一點，連接PA作PQ⊥PA交y軸于Q點，在射線PQ上截取PH=PA，連接CH，F(xiàn)為CH的中點，連接OP，當(dāng)P點運動時（PQ不過點C），∠OPF的大小是否發(fā)生變化？若不變，求其度數(shù)；若變化，求其變化范圍．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標與圖形性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）由b=

a-c

+

c-a

-2就可以得出a=c，就可以b的值為2及∠CAB=45°，再由BD⊥AC就可以求出∠DBA=45°，進而求出BO=OE就可以求出點E的坐標；
（2）根據(jù)三角形的面積公式可以表示出AG=

OC•AB

BC

，由∠BCO=30°，∠BOC=90°由勾股定理就可以求出AG，GC，CB，BO的值就可以求出結(jié)論；
（3）延長PF到M，使MF=PF，連接MC，MO就可以得出△MFC≌△PFH，就有MC=PH，∠CMF=∠HPF，進而就可以得出△MCO≌△PAO，從而得出OM=OP，∠MOC=∠POA，從而可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖1，∵b=

a-c

+

c-a

-2
∴a-c≥0，c-a≥0
∴a=c，b=-2，B（-2，0）
∴OA=OC，∠AOC=90°
∴∠OAC=∠OCA=45°
∵BD⊥AC
∴∠BDA=90°，∠DBA=45°
∵∠BOE=∠BEO=45°，
∴OB=OE=2
∴E（0，2）
（2）證明：如圖2，∵AG⊥BC，CO⊥AB
∴S_△ABC=

1

2

OC•AB=

1

2

BC•AG
∴AG=

OC•AB

BC

∵∠BCO=30°，∠BOC=90°
∴BC=2BO=4，CO=

BC2-BO2

=2

3

∴OA=OC=2

3

，AB=2+2

3

∴AG=

OC•AB

BC

=

2 3 •(2+ 3 )

4

=3+

3

∵在Rt△AGB中，∠GBA=60°，∠GAB=30°
∴BG=

1

2

AB=1+

3

，CG=BC-BG=4-1-

3

=3-

3

∴AG+GC=3+

3

+3-

3

=6，
∵BC+BO=4+2=6
∴AG+GC=BC+BO
（3）∠OPF=45°，大小保持不變．
理由：如圖3，延長PF到M，使MF=PF，連接MC，MO，
∵F為CH的中點，
∴FH=FC．
在△MFC和△PFH中

FC=FH ∠MFC=∠PFH MF=PF

，
∴△MFC≌△PFH（SAS），
∴MC=PH，∠CMF=∠HPF
∵PH=PA
∴MC=PA，MC∥PQ，
∴∠MCO=∠CQP．
∵∠CQP+∠PQO=180°，∠PAO+∠OQP=360°-90°-90°=180°，
∴∠MCO=∠PAO．
在△MCO和△PAO中

CO=AO ∠MCO=∠PAO MC=PA

，
∴△MCO≌△PAO（SAS）
∴OM=OP，∠MOC=∠POA．
∵∠POA+∠POC=90°，
∴∠MOP=∠MOC+∠COP=90°，
∴∠OPF=45°．

點評：本題考查了二次根式的性質(zhì)的運用，坐標與圖形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，平行線的性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．