Question

如圖，CD為⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為點F，AO⊥BC，垂足為E，BC=2

3

，
（1）求AB的長；
（2）求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：垂徑定理,等邊三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）先根據CD為⊙O的直徑，CD⊥AB得出

AD

=

BD

，故可得出∠C=

1

2

∠AOD，由對頂角相等得出∠AOD=∠COE，故可得出∠C=

1

2

∠COE，再根據AO⊥BC可知∠AEC=90°，故∠C=30°，再由直角三角形的性質可得出BF的長，進而得出結論；
（2）在Rt△OCE中根據∠C=30°即可得出OC的長．

解答：解：（1）∵CD為⊙O的直徑，CD⊥AB，
∴

AD

=

BD

，AF=BF，
∴∠C=

1

2

∠AOD，
∵∠AOD=∠COE，
∴∠C=

1

2

∠COE，
∵AO⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴∠C=30°，
∵BC=2

3

，
∴BF=

1

2

BC=

3

，
∴AB=2BF=2

3

；

（2）∵AO⊥BC，BC=2

3

，
∴CE=BE=

1

2

BC=

3

，
∵∠C=30°，
∴OC=

CE

cos30°

=

3

3 2

=2，即⊙O的半徑是2．

點評：本題考查的是垂徑定理，熟知“平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧”是解答此題的關鍵．