Question

如圖，在直角坐標(biāo)平面中，O為原點，點A的坐標(biāo)為（20，0），點B在第一象限內(nèi)，BO=10，sin∠BOA=

3

5

．
（1）在圖中，求作△ABO的外接圓（尺規(guī)作圖，不寫作法但需保留作圖痕跡）；
（2）求點B的坐標(biāo)與cos∠BAO的值；
（3）若A，O位置不變，將點B沿x軸正半軸方向平移使得△ABO為等腰三角形，請直接寫出平移距離．

Answer 1

考點：作圖—復(fù)雜作圖,等腰三角形的判定,三角形的外接圓與外心,平移的性質(zhì),解直角三角形

專題：

分析：（1）作出BO和AB的垂直平分線，兩線交點就是外接圓圓心，再畫圓即可；
（2）作BH⊥OA，垂足為H首先計算出B點坐標(biāo)，然后求出AB長，可得cos∠BAO；
（3）分兩種情況進(jìn)行計算，①當(dāng)BO=AO時，②當(dāng)AO=AB′時，③當(dāng)AO=OB′時，因為點B是沿x軸正半軸方向平移，因此B點縱坐標(biāo)不變．

解答：解：（1）如圖所示：

（2）如圖，作BH⊥OA，垂足為H，
在Rt△OHB中，∵BO=10，sin∠BOA=

3

5

，
∴BH=6．
∴OH=8，
∴點B的坐標(biāo)為（8，6）；
∵OA=20，OH=8，
∴AH=12，
在Rt△AHB中，
∵BH=6，
∴AB=

62+122

=6

5

，
∴cos∠BAO=

AH

BA

=

2 5

5

；

（3）①當(dāng)BO=AO時，
∵AO=20，
∴OH=10，
∴點B沿x軸正半軸方向平移2個單位；
②當(dāng)AO=AB′時，
∵AO=20，
∴AB=20，
過B′作B′N⊥x軸，
∵點B的坐標(biāo)為（8，6），
∴B′N=6，
∴AN=

202-62

=2

91

．
∴點B沿x軸正半軸方向平移2

91

+20-8=2

91

+12個單位；
③當(dāng)AO=OB′時，
∵AO=20，
∴OB″=20，
過B″作B″P⊥x軸，
∵點B的坐標(biāo)為（8，6），
∴B″P=6，
∴OP=

202-62

=2

91

．
∴點B沿x軸正半軸方向平移（2

91

-8）個單位．

點評：此題主要考查了復(fù)雜作圖，以及等腰三角形的判定，關(guān)鍵是正確畫出圖形，考慮分類討論．