Question

如圖，已知PC是∠APB的平分線，點O是PB邊上的一點，以O為圓心，OP長為半徑畫圓，⊙O分別交PA、PB、PC于A、B、C三點，過點C作CD⊥PA，垂足為D．
（1）求證：直線CD是⊙O的切線；
（2）若AD=1，AP=7，求線段CD的長．

Answer 1

考點：切線的判定,相似三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：（1）如圖1，連接OC，由OC=OP得∠1=∠3，而∠1=∠2，則∠2=∠3，根據(jù)平行線的判定得OC∥PD，由于CD⊥PA，所以，CD⊥OC，于是根據(jù)切線的判定定理可判斷直線CD是⊙O的切線；
（2）連接AC，OA，如圖，先證明∠ACD=∠1，則可判斷△ACD∽△CPD，然后利用相似比可計算出CD的長．

解答：（1）證明：如圖1，連接OC，
∵OC=OP，
∴∠1=∠3，
∵PC是∠APB的平分線，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴OC∥PD，
∵CD⊥PA，
∴CD⊥OC，
∴直線CD是⊙O的切線；
（2）解：連接AC，OA，如圖，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．
∵CD⊥OC，
∴∠ACD+∠OCA=90°，
在△OAC中，∠AOC+∠OCA+∠OAC=180°，
又∵∠AOC=2∠1，
∴2∠1+2∠OCA=180°，
∴∠1+∠OCA=90°，
∴∠ACD=∠1，
又∵∠ADC=∠CDP=90°，
∴△ACD∽△CPD，
∴

CD

PD

=

AD

CD

，
∴CD²=AD•PD=AD（AD+AP）=1×（1+7）=8，
∴CD=2

2

．

點評：本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質．