Question

【題目】(2016廣東省深圳市第23題)如圖，拋物線與軸交于A、B兩點，且B（1 , 0）。

(1)、求拋物線的解析式和點A的坐標；

(2)、如圖1，點P是直線上的動點，當直線平分∠APB時，求點P的坐標；

（3）如圖2，已知直線 分別與軸 軸 交于C、F兩點。點Q是直線CF下方的拋物線上的一個動點，過點Q作 軸的平行線，交直線CF于點D，點E在線段CD的延長線上，連接QE。問以QD為腰的等腰△QDE的面積是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】(1)、y=x+2x-3 ,A(-3,0)；(2)、(，)；(3)、△QDE的面積最大值為.

【解析】

試題分析：(1)、把點B的坐標代入解析式得出函數(shù)解析式和點A的坐標；(2)、若y=x平分∠APB，則∠APO=∠BPO，若P點在x軸上方，PA與y軸交于點，從而得出△≌△OPB，從而得出點P的坐標；當點P在x軸下方時，不成立；(3)、作QH⊥CF，根據(jù)直線CF的解析式得出點C和點F的坐標，求出tan∠OFC的值，△QDE是以DQ為腰的等腰三角形，根據(jù)DQ=DE得出函數(shù)解析式，則當DQ=QE時則△DEQ的面積比DQ=DE時大，然后設點Q的坐標，求出函數(shù)解析式得出最大值.

試題解析：(1)、把B（1,0）代入y=ax+2x-3 得a+2-3=0,解得a=1

∴y=x+2x-3 ,A(-3,0)

(2)、若y=x平分∠APB，則∠APO=∠BPO

如答圖1，若P點在x軸上方，PA與y軸交于點 ∵∠POB=∠PO=45°，∠APO=∠BPO，PO=PO

∴△≌△OPB ∴=1, ∴PA: y=3x+1 ∴

若P點在x軸下方時， 綜上所述，點P的坐標為

(3)、如圖2，作QH⊥CF， CF:y=，C(，0),F(0，) tan∠OFC=

DQ∥y軸 ∠QDH=∠MFD=∠OFC tan∠HDQ=

不妨記DQ=1,則DH=,HQ= △QDE是以DQ為腰的等腰三角形

若DQ=DE,則

若DQ=QE,則

＜ 當DQ=QE時則△DEQ的面積比DQ=DE時大

設Q 當DQ=t=

以QD為腰的等腰△QDE的面積最大值為