Question

已知函數(shù)y=﹣x+4的圖象與函數(shù)的圖象在同一坐標(biāo)系內(nèi)．函數(shù)y=﹣x+4的圖象如圖1與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M（2，m）是直線AB上一點(diǎn)，點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱，線段MN交y軸于點(diǎn)C．

（1）m=　　　　　　，S_△AOB=　　　　　　；

（2）如果線段MN被反比例函數(shù)的圖象分成兩部分，并且這兩部分長(zhǎng)度的比為1：3，求k的值；

（3）如圖2，若反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)N，此時(shí)反比例函數(shù)上存在兩個(gè)點(diǎn)E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且到直線MN的距離之比為1：3，若x₁＜x₂請(qǐng)直接寫出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題．

【分析】（1）利用點(diǎn)在函數(shù)圖象上的特點(diǎn)求出m，以及平面直角坐標(biāo)系中三角形的面積的計(jì)算方法（利用坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸的直線上的邊作為底）．

（2）利用點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，線段MN被反比例函數(shù)的圖象分成兩部分，并且這兩部分長(zhǎng)度的比為1：3，且交點(diǎn)為D，分兩種情況或計(jì)算即可．

（3）利用點(diǎn)到平行于坐標(biāo)軸的直線的距離的計(jì)算方法以及和（2）類似的方法分兩種情況處理，取絕對(duì)值時(shí)，也要分情況計(jì)算．

【解答】解：（1）∵M(jìn)（2，m）在直線y=﹣x+4的圖象上，

∴m=﹣2+4=2，

函數(shù)y=﹣x+4的圖象與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，

∴A（4，0），B（0，4），

∴OA=4，OB=4，

∴S_△AOB=OA×OB=×4×4=8．

故答案為m=2，S_△AOB=8．

（2）∵m=2，

∴M（2，2），

∵點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱，

∴N（﹣2，2），

∴MN=4，

∵線段MN被反比例函數(shù)的圖象分成兩部分，并且這兩部分長(zhǎng)度的比為1：3，且交點(diǎn)為D，

①當(dāng)時(shí)，即：，

∴ND=1，

∴D（﹣1，2），

∴k=﹣1×2=﹣2，

②當(dāng)時(shí)，即：，

∴DM=MN=×4=1，

∴D（1，2），

∴k=1×2=2．

故k的值為﹣2或2．

（3）反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)N，且N（﹣2，2），

∴k=﹣2×2=﹣4，

∵反比例函數(shù)上存在兩個(gè)點(diǎn)E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），

∴x₁y₁=﹣4x₂，y₂=﹣4，

∵點(diǎn)E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

∴x₂=﹣x₁，y₂=﹣y₁，

∵M(jìn)（2，2），N（﹣2，2），

∴點(diǎn)E到直線MN的距離為|y₁﹣2|，點(diǎn)F到直線MN的距離為|y₁+2|，

∵點(diǎn)E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）到直線MN的距離之比為1：3，

∴點(diǎn)E（x₁，y₁）、F（﹣x₁，﹣y₁）到直線MN的距離之比為1：3，

①當(dāng)時(shí)，即：3|y₁﹣2|=|y₁+2|

當(dāng)y₁＞2時(shí)，3y₁﹣6=y₁+2，

∴y₁=4，

∴y₂=﹣4，x₁=﹣1，x₂=1

當(dāng)﹣2＜y₁≤2時(shí)，﹣3y₁+6=y₁+2，

∴y₁=1，

∴y₂=﹣1，x₁=﹣4，x₂=4

當(dāng)y₁≤﹣2時(shí)，﹣3y₁+6=﹣y₁+2，

∴y₁=2（舍），

②當(dāng)時(shí)，即：3|y₁+2|=|y₁﹣2|，

當(dāng)y₁＞2時(shí)，3y₁+6=y₁﹣2，

∴y₁=﹣4（舍），

當(dāng)﹣2＜y₁≤2時(shí)，3y₁+6=﹣y₁+2，

∴y₁=﹣1，

∴y₂=1，x₁=4，x₂=﹣4（∵x₁＜x₂，舍），

當(dāng)y₁≤﹣2時(shí)，﹣3y₁﹣6=﹣y₁+2，

∴y₁=﹣4，

∴y₂=4，x₁=1，x₂=﹣1（∵x₁＜x₂，舍），

∴E（﹣4，1），F(xiàn)（1，﹣4）

 E（﹣4，1），F(xiàn)（4，﹣1）

【點(diǎn)評(píng)】本題是反比例函數(shù)的一道綜合題，主要考查了點(diǎn)在函數(shù)圖象上的特點(diǎn)，如求出m，坐標(biāo)系中計(jì)算三角形面積的方法，利用坐標(biāo)求兩點(diǎn)之間的距離和點(diǎn)到直線的距離，如計(jì)算ND，MD，點(diǎn)E，F(xiàn)到直線MN的距離，本題的關(guān)鍵是確定確定兩點(diǎn)的距離和點(diǎn)到直線的距離的確定，又用到了分幾種情況計(jì)算，易丟掉其中一種情況．