Question

如圖，菱形ABCD中，AB=AC，點(diǎn)E、F分別為邊AB、BC上的點(diǎn)，且AE=BF，連接CE、AF交于點(diǎn)H，連接DH交AC于點(diǎn)O．
（1）求證：△ABF≌△CAE；
（2）HD平分∠AHC嗎？為什么？

Answer 1

（1）證明：∵ABCD為菱形，
∴AB=BC．
∵AB=AC，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠B=∠CAB=60°，
在△ABF和△CAE中，，
∴△ABF≌△CAE（SAS）；

（2）答：HD平分∠AHC．
理由如下：過點(diǎn)D作DG⊥CH于點(diǎn)G，作DK⊥FA交FA的延長線于點(diǎn)K，
∵△ABF≌△CAE，
∴∠BAF=∠CAE，
∵∠BAF+∠CAF=60°，
∴∠CAE+∠CAF=60°，
∴∠AHC=120°，
∵∠ADC=60°，
∴∠HAD+∠HCD=180°，
∵∠HAD+∠KAD=180°，
∴∠HCD=∠KAD，
在△ADK和△CDG中，，
∴△ADK≌△CDG（AAS），
∴DK=DG，
∵DG⊥CH，DK⊥FA，
∴HD平分∠AHC．
分析：（1）根據(jù)菱形的四條邊都相等可得AB=BC，然后求出△ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠B=∠CAB=60°，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△CAE全等即可；
（2）過點(diǎn)D作DG⊥CH于點(diǎn)G，作DK⊥FA交FA的延長線于點(diǎn)K，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BAF=∠CAE，然后求出∠AHC=120°，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理求出∠HAD+∠HCD=180°，根據(jù)平角的定義求出∠HAD+∠KAD=180°，從而得到∠HCD=∠KAD，然后利用“角角邊”證明△ADK和△CDG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DK=DG，然后利用到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上證明即可．
點(diǎn)評：本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，（2）作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．