Question

如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，AF⊥DC垂足為點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)EF．
（1）求證：△AEF∽△BAC；
（2）如果

S△AEF

S△ABCD

=

3

8

，求∠B的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)及四點(diǎn)共圓的判定和性質(zhì)，問題即可解決．
（2）運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)：面積之比=相似比的平方，結(jié)合直角三角形的邊角關(guān)系即可解決問題．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠ECF=180°；
又∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC+∠AFC=180°，
∴A、E、C、F四點(diǎn)公圓；
∴∠AFE=∠ACB，∠EAF+∠ECF=180°，
∴∠B+∠ECF=∠EAF+∠ECF，
∴∠B=∠EAF，而∠AFE=∠ACB，
∴△AEF∽△BAC．
（2）解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴S_{平行四邊形ABCD}=2S_△ABC；
又∵

S△AEF

S平行四邊形ABCD

=

3

8

，
∴

S△AEF

S△ABC

=

3

4

，
∵△AEF∽△BAC，
∴

S△AEF

S△ABC

=(

AE

AB

)2，
∴

AE

AB

=

3

2

∵sin∠B=

AE

AB

=

3

2

，
∴∠B=60°．

點(diǎn)評：該命題依平行四邊形為載體，綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．