Question

如圖，已知直線AB經(jīng)過x軸上的點(diǎn)A（2，0）且與拋物線y=ax²相交于B、C兩點(diǎn)，已知點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，1）
（1）求直線和拋物線的解析式；
（2）如果D為拋物線上的一點(diǎn)，使得△AOD與△OBC的面積相等，求點(diǎn)D坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx+b中，可求直線解析式，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²中，可求拋物線解析式；
（2）聯(lián)立直線與拋物線解析式，可求C點(diǎn)坐標(biāo)，用S_△OBC=S_△OCA-S_△OBA，可求△OAD的面積，又已知OA，可求D點(diǎn)的縱坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)直線AB所表示的函數(shù)解析式為y=kx+b，
∵它過點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B（1，1），
∴

2k+b=0 k+b=1

，
解得

k=-1 b=2

．
∴直線AB所表示的函數(shù)解析式為y=-x+2，
∵拋物線y=ax²過點(diǎn)B（1，1），
∴a×1²=1，
解得a=1，
∴拋物線所表示的函數(shù)解析式為y=x²；

（2）解方程組

y=-x+2 y=x2

，
得

x1=-2 y1=4

，

x2=1 y2=1

，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，4）或（1，1），
∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
∴OA=2，S_△OAC=

1

2

×2×4=4，
S_△OAB=

1

2

×2×1=1，
∴S_△OBC=S_△OAC-S_△OAB=4-1=3，
設(shè)D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y_D，
則S_△OAD=

1

2

×OA×|y_D|=

1

2

×2×|y_D|=3，
∴y_D=3
y=3代入y=x²，
得x=±

3

，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，3）或（-

3

，3）．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的求法，兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，以及坐標(biāo)系中面積的表示方法．