Question

如圖，在菱形ABCD中，AB=BD=2，點E，F(xiàn)分別在邊CD，BC上，且BF=CE．連接BE，DF相交于點H，連接AH，BD相交于點G．若BF：FC=2：1，則AH=

 

．

Answer 1

考點：菱形的性質(zhì)

專題：

分析：如圖，作輔助線；證明△BDF≌△CBE，得到∠BDF=∠CBE，進而證明∠BHF=60°，此為解題的關鍵性結論；證明△BFH∽△BEC，得到

CE

BH

=

BE

AB

；證明△BCE∽△AHB，得到

BC

AH

=

BE

AB

，即可解決問題．

解答：解：取CD的中點M，連接BM；設CF=2λ，則F=4λ，BC=6λ；
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=BC=CD，而AB=BD=2，
∴BC=CD=BD=2，△BCD為等邊三角形，
∴CM=3λ，BM=3

3

λ；
∵CE=BF=4λ，ME=λ；
由勾股定理得：BE²=BM²+EM²，
∴BE=2

7

λ；
在△BDF與△CBE中，

BF=CE ∠DBF=∠BCE BD=BC

，
∴△BDF≌△CBE（SAS），
∴∠BDF=∠CBE，
∴∠BHF=∠BDF+∠DBE=∠CBE=∠CBE+∠DBE=60°，
∴△BFH∽△BEC，
∴

BF

BE

=

BH

BC

，
∵BF=CE，BC=AB，
∴

CE

BE

=

BH

AB

，即

CE

BH

=

BE

AB

；
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠ABH，
∴△BCE∽△AHB，
∴

BC

AH

=

BE

AB

，即

6λ

AH

=

2 7 λ

6λ

，
∴AH=

18 7 λ

7

，而6λ=2，
∴AH=

6 7

7

，
故答案為

6 7

7

．

點評：該題主要考查了菱形的性質(zhì)及其應用問題；解題的關鍵是作輔助線，靈活運用全等三角形的判定及其性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點來分析、判斷、推理或解答．