Question

已知，DE是等腰直角三角形ABC的中位線，將△BED沿AB翻折使E落在F處，如圖①，再將△ABC繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜90°），連接AF，DC，如圖②．
（1）觀察猜想，∠AFB與∠BDC大小關(guān)系______（直接出正確結(jié)論）；
（2）當(dāng)α=30時，試判斷△BDC的形狀；
（3）在（2）的條件下，若DG=1，求DF的長．

Answer 1

解：（1）∵DE是等腰直角三角形ABC的中位線，將△BED沿AB翻折使E落在F處，
∴∠EDB=∠A=∠FDB=45°，∠DBE=∠DBF=90°，F(xiàn)D=DE，
∴FB=BE=BD，
∠CBD+∠ABD=90°，∠ABD+∠ABF=90°，
∴∠CBD=∠ABF，
在△CBD和△ABF中
∵，
∴△CBD≌△ABF（SAS），
∴∠AFB=∠BDC．
故答案為：∠AFB=∠BDC；

（2）如圖②，延長BD至M使DM=BD，連接MC，則BM=2DB，
∵DE是等腰直角三角形ABC的中位線，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∵BM=BC，BC=2BD，BC=2CE，BE=BD，
∴BC=BM，
∵∠CBE=30°，
∴∠DBC=60°，
∴△BMC為等邊三角形，
∴DC⊥BD，
∴△DCB直角三角形；

（3）設(shè)DB=a，∴BC=2a，
∴，
∴，
∵∠AFB=∠BDC，
∴∠AFB=90°，
∴AF∥DB，
∴，
∵DG=1，
∴FG=，
∴．
分析：（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應(yīng)線段相等以及得出∠CBD=∠ABF，BF=BD，再由全等三角形的判定與性質(zhì)得出△CBD≌△ABF即可得出答案；
（2）延長BD至M使DM=BD，連接MC，首先得出△BDE是等腰直角三角形，進而得出△BMC為等邊三角形，即可得出△BDC的形狀；
（3）首先設(shè)DB=a，則BC=2a，利用勾股定理得出DC長，再由AF∥DB，則，求出FG即可得出DF的長．
點評：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理等知識，利用圖形旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)線段以及對應(yīng)角相等得出△BMC為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．