Question

如圖，已知拋物線y=

1

2

x2+mx-2與直線y=x交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且BC∥x軸．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)D、E是線段AB上異于A、B的兩個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)D的上方），DE=

2

，過D、E兩點(diǎn)分別作y軸的平行線，交拋物線于F、G，若設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，四邊形DEGF的面積為y，求y與x之間的關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當(dāng)（2）中的線段DE在移動過程中，四邊形DEGF能否成為菱形？若能，請求出相應(yīng)x的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的解析式知：點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為-2，而BC∥x軸，那么點(diǎn)B的縱坐標(biāo)也為-2，根據(jù)直線AB的解析式即可確定B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將其代入拋物線的解析式中，可求得m的值，從而確定該拋物線的解析式．
（2）過D作DM⊥EG于M，易知∠EDM=45°，那么DM=1，可設(shè)出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)DM的長表示出E點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由直線AB和拋物線的解析式可求得D、E、F、G的縱坐標(biāo)，從而得到DF、EC的長，由于四邊形ECFD是個(gè)梯形，那么根據(jù)梯形的面積公式即可得到y(tǒng)、x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）若四邊形EGFD是菱形，首先應(yīng)該滿足四邊形EGFD是個(gè)平行四邊形，那么EG=DF，可根據(jù)（2）題得到的兩條線段的表達(dá)式，列方程求出點(diǎn)DF、CE的長，然后判斷DF是否與DE相等即可．

解答：解：（1）易知C（0，-2），則B點(diǎn)的縱坐標(biāo)也為-2；
由于點(diǎn)B在直線y=x上，則B（-2，-2），代入拋物線的解析式中，可得：

1

2

×（-2）²-2m-2=-2，
解得m=1；
故：y=

1

2

x2+x-2；

（2）過D作DM⊥EG于M；
△DEM中，DE=

2

，∠EDM=45°，則DM=1；
設(shè)D（x，x），則E（x+1，x+1），
F（x，

1

2

x²+x-2），G（x+1，

1

2

（x+1）²+（x+1）-2）；
故DF=x-（

1

2

x²+x-2）=2-

1

2

x²，
EG=（x+1）-[

1

2

（x+1）²+（x+1）-2]=2-

1

2

（x+1）²；
則y=

1

2

（DF+EG）×DM=

1

2

[2-

1

2

x²+2-

1

2

（x+1）²]×1，
整理得：y=-

1

2

x2-

1

2

x+

7

4

，
x的取值范圍是-2＜x＜1．

（3）四邊形DEGF不能成為菱形，理由如下：
若四邊形DEGF是菱形，則四邊形DEGF必須是個(gè)平行四邊形，得：
DF=EG，
即2-

1

2

x²=2-

1

2

（x+1）²；
解得x=-

1

2

，
則DF=EG=

15

8

≠DE；
故四邊形DEGF不可能成為菱形．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、菱形的判定方法等知識，難度適中．