Question

操作：如圖，在正方形ABCD中，P是CD上一動(dòng)點(diǎn)（與C、D不重合），使三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)P重合（含30度角的直角三角板），并且一條直角邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，另一直角邊與正方形的某一邊所在直線交于點(diǎn)E．
探究：①觀察操作結(jié)果，哪一個(gè)三角形與△BPC相似，寫出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由；
②當(dāng)點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)時(shí)，你找到的三角形與△BPC的周長(zhǎng)比和面積比分別是多少？

Answer 1

解：分兩種情況：
①如圖（1），
∵∠BPE=90°，
∴∠BPC+∠DPE=90°，又∠BPC+∠PBC=90°，
∴∠PBC=∠DPE，又∠C=∠D=90°，
∴△BPC∽△PED．
如圖（2），同理可證△BPC∽△BEP∽△PEC．

②如圖（1），∵△BPC∽△PED，
∴△PED與△BPC的周長(zhǎng)比等于對(duì)應(yīng)邊的比，即PD與BC的比，
∵點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)，
∴PD與BC的比為1：2，
∴△PED與△BPC的周長(zhǎng)比1：2，
△PED與△BPC的面積比1：4．
如圖（2），∵△BPC∽△BEP，
∴△BEP與△BPC的周長(zhǎng)比等于對(duì)應(yīng)邊的比，即BP與BC的比，
∵點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)，
設(shè)BC=2k，則PC=k，BP=k，
∴BP與BC的比為：2，
△BEP與△BPC的周長(zhǎng)比為：2，△BEP與△BPC的面積比為5：4．
分析：由于本題直角三角形的擺放方法沒(méi)有確定，因此要分兩種情況進(jìn)行討論：
①直角三角形的斜邊與AD相交；（如圖1）
②直角三角形的斜邊與BC邊在同一條直線上（如圖2）；解題思路一致．
以①為例說(shuō)明：△DEP和△BCP中，∠DEP和∠BPC同為∠DPE的余角，因此這兩角相等，易證得兩三角形相似．當(dāng)P為CD中點(diǎn)時(shí)，PD=CP，可根據(jù)相似三角形得出的比例關(guān)系式求出DE和BC的表達(dá)式，進(jìn)一步可求得兩三角形的周長(zhǎng)和面積比．
點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)相似三角形性質(zhì)的理解．
（1）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比．
（2）相似三角形面積的比等于相似比的平方．