Question

（1）如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是BC延長線上一點，E是AC上一點，且CD=CE，連BE交AD于F．求證：BF⊥AD．
（2）如圖2，正方形AGBC，D是BC延長線上一點，E是AC上一點，且CD=CE，連BE交AD于F．連CF，利用圖1或圖2，證明：∠BFC=45°．
（3）在圖2中，若

AC

AF

=

5

，直接寫出

CF

AF

=

2

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質證明三角形全等，可以得出∠BEC=∠D，再根據(jù)角的關系就可以求出∠BFD=90°而得出結論；
（2）延長AD至H，使AH=BF，由條件可以證明△ACH≌△BCF，可以得出CF=CH，∠BCF=∠ACH，從而可以∠FCH=90°，進而得出∠CFH=45°，從而得出結論；
（3）由

AC

AF

=

5

，設AC=

5

x，AF=x，根據(jù)正方形的性質及勾股定理可以求出AB=

10

x，BF=3x，就有AH=3x，就有FH=2x，根據(jù)勾股定理就可以求出CF=

2

x，從而可以求出結論．

解答：解：（1）在△ACD和△BCE中，

AC=BC ∠BCE=∠ACD=90° CE=CD

，
∴三角形ACD≌三角形BCE（SAS），
∴∠DAC=∠EBC．
∵∠DAC+∠D=90°，
∴∠EBC+∠D=90°，
∴∠BFD=90°，
∴BF⊥AD．
（2）延長AD至H，使AH=BF．
在△ACH和△BCF中，

AH=BF ∠DAC=∠EBC AC=BC

∴△ACH≌△BCF，
∴CF=CH，BF=AH，∠ACH=∠BCF，
∴∠ACH-∠ACF=∠BCF-∠ACF，
∴∠ACB=∠FCH．
∵∠ACB=90°，
∴∠FCH=90°，
∴∠H=∠CFH=45°．
∵∠BFD=90°，
∴∠BFC=45°．
（3）∵

AC

AF

=

5

，
∴AC=

5

x，AF=x，
∴BC=

5

x，在Rt△中，由勾股定理得：
AB=

10

x．
∵∠BFD=90°，
∴∠BFA=90°，
在Rt△AFB中，由勾股定理得：
BF=

10x2-x2

=3x．
∴AH=3x，
∴FH=2x，
在Rt△FCH中，由勾股定理得：
CF²+CH²=4x²，
∴CF²+CF²=4x²，
∴CF=

2

x，
∴

CF

AF

=

2 x

x

=

2

，
故答案為：

2

．

點評：本題考查了全等是三角形的判定與性質的運用，正方形的性質的運用，垂直的定義的運用，等腰直角三角形的性質的運用，勾股定理的運用，在解答中作輔助線證明三角形全等是關鍵．