Question

如圖，已知矩形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB上的一點(diǎn)，EF⊥EC，且EF=EC．
（1）求證：△AEF≌△DCE．
（2）若DE=3cm，矩形ABCD的周長為30cm，求AE的長．

Answer 1

（1）證明：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
則∠1+∠2=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠2+∠3=180°-90°=90°，
∴∠1=∠3，
在△AEF和△DCE中，
∵，
∴△AEF≌△DCE（AAS）；

（2）解：∵△AEF≌△DCE，
∴AE=CD，
矩形ABCD的周長=2（AD+CD）=2（AE+DE+CD）=2（AE+DE+AE）=2（2AE+DE），
∵DE=3cm，矩形ABCD的周長為30cm，
∴2（2AE+3）=30，
解得AE=6cm．
分析：（1）根據(jù)矩形的每一個(gè)角都是直角求出∠A=∠D=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用“角角邊”證明即可；
（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=CD，然后根據(jù)矩形的周長公式列式求解即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的每一個(gè)角都是直角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及矩形的周長公式，根據(jù)同角的余角相等求出∠1=∠3是證明三角形全等的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．