Question

（2005•聊城）已知：平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，BD=2AD，E，F，G分別是OC，OD，AB的中點．求證：（1）BE⊥AC；（2）EG=EF．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知條件易證△OBC是等腰三角形，E是OC的中點，根據等腰三角形中底邊上的高與中線合一的性質知BE⊥AC．
（2）利用直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半及中位線定理可證EG=EF．
解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，BD=2BO．
由已知BD=2AD，
∴BO=BC．
又E是OC中點，
∴BE⊥AC．

（2）由（1）BE⊥AC，又G是AB中點，
∴EG是Rt△ABE斜邊上的中線．
∴EG=AB．
又∵EF是△OCD的中位線，
∴EF=CD．
又AB=CD，
∴EG=EF．
點評：本題考查了等腰三角形的性質，直角三角形的性質，三角形中位線的性質，范圍比較廣．