Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OBCD的邊OB在x軸上，反比例函數(shù)y= （x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)菱形對(duì)角線的交點(diǎn)A，且與邊BC交于點(diǎn)F，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2）．

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵反比例函數(shù)y= 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2），

∴k=2×4=8，

∴反比例函數(shù)的解析式為y=

（2）解：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥x軸于點(diǎn)N，

由題意可知，CN=2AM=4，ON=2OM=8，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（8，4），

設(shè)OB=x，則BC=x，BN=8﹣x，

在Rt△CNB中，x2﹣（8﹣x）2=42，

解得：x=5，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（5，0），

設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=ax+b，直線BC過(guò)點(diǎn)B（5，0），C（8，4），

∴ ，

解得： ，

∴直線BC的解析式為y= x+ ，

根據(jù)題意得方程組 ，

解此方程組得： 或

∵點(diǎn)F在第一象限，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（6， ）．

【解析】（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入到反比例函數(shù)的一般形式后求得k值即可確定函數(shù)的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥x軸于點(diǎn)N，首先求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后求得直線BC的解析式，求得直線和拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．本題考查了反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特點(diǎn)、待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而確定直線的解析式．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用菱形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半．