Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x²+（m+1）x+3m與直線y=-x+3交于A、C兩點(diǎn)；點(diǎn)P從原點(diǎn)O點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿OC向終點(diǎn)C運(yùn)動，過P作x軸的垂線，交拋物線于D，交AC于E，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為x（秒），四邊形AOCD的面積為S．
（1）求點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，并求此拋物線的解析式；
（2）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；
（3）探究：是否存在點(diǎn)P，使直線AC把△PCD分成面積之比為2：1的兩部分？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-x+3分別令x=0，y=0即可求出A，B的坐標(biāo)．把A或B點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可求出m的值，從而求出其解析式．
（2）根據(jù)（1）中所求拋物線的解析式設(shè)出D點(diǎn)坐標(biāo)，由A，C，D三點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出S的最大值．
（3）因?yàn)椴幻鞔_△CDE與△CPE面積的大小，故應(yīng)分兩種情況討論：
①當(dāng)△CDE與△CEP的面積之比為2：1時(shí)，因?yàn)閮扇�角形的高相同，所以DE：EP=2：1，即DP=3EP，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x²+2x+3），由于OA=OB，所以PC=EP，根據(jù)P，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出DP與EP的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求出P點(diǎn)坐標(biāo)．
②當(dāng)△CEP與△CDE的面積之比為2：1時(shí)，則DE=2EP，同①可求出DP與EP的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：（1）根據(jù)一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-x+3分別令x=0，則y=3；
令y=0則x=3，
故A（0，3），C（3，0），
把A（0，3）代入拋物線的解析式
得3m=3，m=1，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）∵m=1
∴y=-x²+2x+3，
∴AO=3，
點(diǎn)D（x，-x²+2x+3），連接OD，
∵OC=3，
∴S=S_△AOD+S_△DOC=

1

2

×3x+

1

2

×（-x²+2x+3）=-

3

2

x²+

9

2

x+

9

2

，
∴S與x的函數(shù)關(guān)系式S=-

3

2

x²+

9

2

x+

9

2

（0＜x＜3），
當(dāng)x=-

b

2a

=

3

2

符合（0＜x＜3），
S_最大值=

4ac-b2

4a

=

4×(- 3 2 × 9 2 -( 9 2 )2)

4×(- 3 2 )

=

63

8

，

（3）∵OA=OC=3，
∴△AOC為等腰Rt△，
∴∠ECP=45°，
∴EP=PC=3-x，
假設(shè)存在點(diǎn)P，使AC把△PCD分成面積之比為2：1的兩部分，分兩種情況討論：
（�。┊�(dāng)△CDE與△CEP的面積之比為2：1時(shí)，DE=2EP，
∴DP=3EP，
即-x²+2x+3=3（-x+3）
整理得：x²-5x+6=0，
解得；x₁=2x₂=3（不合題意，舍去），
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，0）；
（ⅱ）當(dāng)△CEP與△CDE的面積之比為2：1時(shí)，DE=

1

2

EP，
∴DP=

3

2

EP，
即-x²+2x+3=

3

2

（-x+3），
整理得：2x²-7x+3=0，
解得：x₃=

1

2

，x₄=3（不合題意，舍去），
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

1

2

，0），
綜上所述，使直線AC把△PCD分成面積之比為2：1兩部分的點(diǎn)P存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，0）或（

1

2

，0）．

點(diǎn)評：此題是典型的動點(diǎn)問題，把面積的最值問題問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)最值的問題解答．
（3）是一道結(jié)論開放性題目，考查了同學(xué)們的發(fā)散思維能力，解答時(shí)要進(jìn)行分類討論．