問題探究:

(1)請?jiān)趫D①中作出兩條直線,使它們將圓面四等分;

(2)如圖②,M是正方形ABCD內(nèi)一定點(diǎn),請?jiān)趫D②中作出兩條直線(要求其中一條直線必須過點(diǎn)M)使它們將正方形ABCD的面積四等分,并說明理由.

問題解決:

(3)如圖③,在四邊形ABCD中,AB∥CD,AB+CD=BC,點(diǎn)P是AD的中點(diǎn),如果AB=a,CD=b,且b>a,那么在邊BC上是否存在一點(diǎn)Q,使PQ所在直線將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分?如若存在,求出BQ的長;若不存在,說明理由.

 

 

【答案】

(1)作圖見解析;(2)作圖和理由見解析;(3)存在,理由見解析.

【解析】

試題分析:(1)圓內(nèi)兩條互相垂直的直徑即達(dá)到目的;(2)連接AC、BD相交于點(diǎn)O,作直線OM分別交AD、BC于P、Q兩點(diǎn),過點(diǎn)O作用OM的垂線分別交AB、CD于E、F兩點(diǎn),則直線OM、EF將正方形ABCD的面積四等分,可應(yīng)用△AOP≌△EOB得出結(jié)論;(3)把原圖補(bǔ)充成菱形,應(yīng)用菱形的性質(zhì)求解.

試題解析:(1)如圖①所示:

(2)如圖②,連接AC、BD相交于點(diǎn)O,作直線OM分別交AD、BC于P、Q兩點(diǎn),過點(diǎn)O作用OM的垂線分別交AB、CD于E、F兩點(diǎn),則直線OM、EF將正方形ABCD的面積四等分.

理由如下:

∵點(diǎn)O是正方形ABCD對角線的交點(diǎn),∴點(diǎn)O是正方形ABCD的對稱中心.

∴AP=CQ,EB=DF.

在△AOP和△EOB中,∵∠AOP=90°-∠AOE,∠BOE=90°-∠AOE,∴∠AOP=∠BOE.

∵OA=OB,∠OAP=∠EBO=45°,∴△AOP≌△EOB(ASA).∴AP=BE=DF=CQ .

∴AE=BQ=CF=PD.

設(shè)點(diǎn)O到正方形ABCD一邊的距離為.

.

.

∴直線EF、PQ將正方形ABCD面積四等分.

(3)存在. 當(dāng)BQ=CD=時(shí),PQ將四邊形ABCD面積二等分.理由如下:

如圖③,延長BA至點(diǎn)E,使AE=,延長CD至點(diǎn)F,使DF=,連接EF.

∴BE∥CF,BE=CF. ∴四邊形BCFE為平行四邊形.

∵BC=BE=+,∴平行四邊形DBFE為菱形.

連接BF交AD于點(diǎn)M,則△MAB≌△MDF.

∴AM=DM,即點(diǎn)P、M重合.

∴點(diǎn)P是菱形EBCF對角線的交點(diǎn).

在BC上截取BQ=CD=,則CQ=AB=.

設(shè)點(diǎn)P到菱形EBCF一邊的距離為,

.

∴當(dāng)BQ=時(shí),直線PQ將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分.

考點(diǎn):1.面積等分問題;2.圓和正方形的性質(zhì);3.全等三角形的判定和性質(zhì);4.菱形的判定和性質(zhì);5.轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用.

 

練習(xí)冊系列答案
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(1)請你在圖①中做一條直線,使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分;
(2)如圖②點(diǎn)M是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn),請你在圖②中過點(diǎn)M作一條直線,使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分.
問題解決:
(3)如圖③,在平面直角坐標(biāo)系中,直角梯形OBCD是某市將要籌建的高新技術(shù)開發(fā)區(qū)用地示意圖,其中DC∥OB,OB=6,CD=BC=4開發(fā)區(qū)綜合服務(wù)管理委員會(huì)(其占地面積不計(jì))設(shè)在點(diǎn)P(4,2)處.為了方便駐區(qū)單位準(zhǔn)備過點(diǎn)P修一條筆直的道路(路寬不計(jì)),并且是這條路所在的直線l將直角梯形OBCD分成面積相等的兩部分,你認(rèn)為直線l是否存在?若存在,求出直線l的表達(dá)式;若不存在,請說明理由.
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(1)請?jiān)趫D①的正方形ABCD內(nèi),畫出使∠APB=90°的一個(gè)點(diǎn),并說明理由.
(2)請?jiān)趫D②的正方形ABCD內(nèi)(含邊),畫出使∠APB=60°的所有的點(diǎn)P,并說明理由.
問題解決:
(3)如圖③,現(xiàn)在一塊矩形鋼板ABCD,AB=4,BC=3.工人師傅想用它裁出兩塊全等的、面積最大的△APB和△CP′D鋼板,且∠APB=∠CP'D=60度.請你在圖③中畫出符合要求的點(diǎn)和P和P′,并求出△APB的面積(結(jié)果保留根號).
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(1)請你在圖①中做一條直線,使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分;
(2)如圖②點(diǎn)M是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn),請你在圖②中過點(diǎn)M作一條直線,使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分.
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(3)如圖③,在平面直角坐標(biāo)系中,直角梯形OBCD是某市將要籌建的高新技術(shù)開發(fā)區(qū)用地示意圖,其中DC∥OB,OB=6,CD=BC=4開發(fā)區(qū)綜合服務(wù)管理委員會(huì)(其占地面積不計(jì))設(shè)在點(diǎn)P(4,2)處.為了方便駐區(qū)單位準(zhǔn)備過點(diǎn)P修一條筆直的道路(路寬不計(jì)),并且是這條路所在的直線l將直角梯形OBCD分成面積相等的兩部分,你認(rèn)為直線l是否存在?若存在,求出直線l的表達(dá)式;若不存在,請說明理由.

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