Question

如圖，已知過A（2，4）分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為M、N，若點P從O點出發(fā)，沿OM作勻速運動，1分鐘可到達M點，點Q從M點出發(fā)，沿MA作勻速運動，1分鐘可到達A點．
（1）經過多少時間，線段PQ的長度為2？
（2）寫出線段PQ長度的平方y(tǒng)與時間t之間的函數關系式和t的取值范圍；
（3）在P、Q運動過程中，是否可能出現PQ⊥MN？若有可能，求出此時間t；若不可能，請說明理由；
（4）是否存在時間t，使P、Q、M構成的三角形與△MON相似？若存在，求出此時間t；若不可能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）在直角△PQM中利用勾股定理，PM²+MQ²=PQ²，即可列方程求得t的值；
（2）根據（1）中的式子即可直接求解；
（3）首先求得直線MN的解析式，PQ⊥MN則兩直線的一次項系數乘積是-1，據此即可求解；
（4）分當△PMQ∽△MON和△QMP∽△MON，根據相似三角形的對應邊的比相等即可求解．

解答：解：（1）∵A（2，4），
∴OM=AN=2，AM=ON=4，
∵點P1分鐘可到達M點，點Q1分鐘可到達A點，
∴點P的運動速度是2個單位每分鐘，點Q的運動速度是4個單位每分鐘．
設經過t秒，則PM=2-2t，MQ=4t，
在直角△PQM中，PM²+MQ²=PQ²，即（2-2t）²+16t²=4，解得：t=

2

5

或0（舍去），
即經過

2

5

秒，線段PQ的長度為2；

（2）y=（2-2t）²+16t²，即y=20t²-8t+4；

（3）M的坐標是（2，0），N的坐標是（0，4），
設直線MN的解析式是y=kx+b，則

2k+b=0 b=4

，
解得：

k=-2 b=4

，
則直線MN的解析式是：y=-2x+4，
當PQ⊥MN時：

4t

2-2t

=

1

2

，解得：t=

1

5

，
即當t=

1

5

時，PQ⊥MN；

（4）當△PMQ∽△MON時，

PM

OM

=

MQ

ON

，即：

2-2t

2

=

4t

4

，解得：t=

1

2

；
當△QMP∽△MON時，

QM

OM

=

MP

ON

，即

4t

2

=

2-2t

4

，解得：t=

1

5

．
故當t=

1

2

或

1

5

時，P、Q、M構成的三角形與△MON相似．

點評：本題是相似三角形的性質以及勾股定理、一次函數的性質的綜合應用，正確進行討論是關鍵．