Question

如圖，⊙O的直徑AB=4，AM和BN是它的兩條切線，DE切⊙O于E，交AM于D，交BN于C．設(shè)四邊形ABCD的面積為S，則S的取值范圍為________．

Answer 1

S≥8
分析：根據(jù)切線的性質(zhì)得到它們都和直徑垂直，得到AM與NB平行，作直角梯形的另一高，構(gòu)造一個直角三角形，根據(jù)切線長定理和勾股定理列方程，再表示出關(guān)于y的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)直角梯形的面積公式表示梯形的面積，再根據(jù)基本不等式即可求出S的范圍．
解答：解：∵AB是直徑，AM、BN是切線，
∴AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN，
過點D作DF⊥BC于F，則AB∥DF，
∴四邊形ABFD為矩形．
∴DF=AB=4，BF=AD=x，
∵DE、DA，CE、CB都是切線，
∴根據(jù)切線長定理，得DE=DA=x，CE=CB=y，
在Rt△DFC中，DF=4，DC=DE+CE=x+y，CF=BC-BF=y-x，
∴（x+y）²=4²+（y-x）²，
化簡，得y=（x＞0）．
則四邊形的面積S=AB（AD+BC）=×4×（x+），即S=2（x+）=2x+（x＞0）．
∵2x+≥2=8，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時，等號成立．
∴x+≥8，即S≥8．
故答案為：S≥8
點評：此題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，梯形的面積公式，矩形的判定與性質(zhì)，基本不等式的運用，以及切線長定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．