Question

如圖，已知⊙O是四邊形ABCD的外接圓，直線AD，BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)是弦CD的中點(diǎn)，直線EF交弦AB于點(diǎn)G，求證：
（1）ED•EA=EC•EB；
（2）AG：GB=AE²：BE²．

Answer 1

證明：
（1）∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形
∴∠DCE=∠A，∠EDC=∠B
∴△EDC∽△EAB
∴
故ED•EA=EC•EB；
（2）證明：∵△DEF的邊DF和△CEF的邊CF上的高相等，
∵CF=DF，
∴=1，
由正弦定理得：===1
∵△EDC∽△EAB
∴=，
∴=1，
∴=，
∵△AEG邊AG和△BEG邊CG上的高相等，
∴===•=×，
即=．
分析：（1）由四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，據(jù)此性質(zhì)證△EDC∽△EAB，從而得證；
（2）根據(jù)三角形面積公式和CF=DF求出，=1，由正弦定理推出=1根據(jù)△EDC∽△EAB求出=，根據(jù)三角形面積公式求出==•，代入求出即可．
點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是運(yùn)用好圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和三角形的面積公式．