Question

如圖，在平面直角坐標系中，將拋物線y=

3

3

x²先向右平移1個單位，再向下平移

4 3

3

個單位，得到新的拋物線y=ax²+bx+c，該拋物線與y軸交于點B，與x軸正半軸交于點C．
（1）求點B和點C的坐標；
（2）如圖1，有一條與y軸重合的直線l向右勻速平移，移動的速度為每秒1個單位，移動的時間為t秒，直線l與拋物線y=ax²+bx+c交于點P，當點P在x軸上方時，求出使△PBC的面積為2

3

的t值；
（3）如圖2，將直線BC繞點B逆時針旋轉，與x軸交于點M（1，0），與拋物線y=ax²+bx+c交于點A，在y軸上有一點D（0，

2 3

3

），在x軸上另取兩點E，F(xiàn)（點E在點F的左側），EF=2，線段EF在x軸上平移，當四邊形ADEF的周長最小時，先簡單描述如何確定此時點E的位置？再直接寫出點E的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據條件即可寫出新拋物線的解析式，然后只需令x=0就可得到點B的坐標，令y=0就可得到點C的坐標；
（2）過點P作PH⊥y軸于點H，如圖1，則有PH=t，然后運用割補法表示出△BCP的面積，根據條件“△PBC的面積為2

3

”可用t的代數(shù)式表示出OH，從而得到點P的坐標（用t的代數(shù)式表示），然后將點P的坐標代入新拋物線的解析式就可解決問題；
（3）由于AD、EF是定值，要使四邊形ADEF的周長最小，只需DE+AF最小，由于DE與AF不相連，可將AF向左平移2個單位到A′E，從而將問題轉化為DE+EA′最小，可作點D關于x軸的對稱點D′，則有D′E=DE，從而將問題轉化為D′E+EA′最小，根據兩點之間線段最短可知當D′、E、A′三點共線時，D′E+EA′最�。灰�求四邊形ADEF的周長最小時對應的點E的坐標，只需依次求出直線BM的解析式、點A的坐標，點A′的坐標，點D關于x軸的對稱點D′的坐標，直線A′D′的解析式，直線A′D′與x軸的交點E′的坐標，就可解決問題．

解答：解：（1）將拋物線y=

3

3

x²先向右平移1個單位，再向下平移

4 3

3

個單位，
得到新的拋物線的解析式為y=

3

3

（x-1）²-

4 3

3

．
當x=0時，y=

3

3

-

4 3

3

=-

3

，則點B的坐標為（0，-

3

）；
令y=0，得

3

3

（x-1）²-

4 3

3

=0，
解得：x₁=3，x₂=-1，
∵點C在x軸正半軸上，
∴點C的坐標為（3，0）；

（2）過點P作PH⊥y軸于點H，如圖1，
由題可得PH=1×t=t．
∵點B（0，-

3

），點C（3，0），
∴OB=

3

，OC=3，
∴S_△BCP=S_梯形PHOC+S_△BOC-S_△PHB
=

1

2

（PH+OC）•OH+

1

2

OB•OC-

1

2

BH•PH
=

1

2

（t+3）•OH+

1

2

×

3

×3-

1

2

（OH+

3

）•t
=

3

2

OH+

3 3

2

-

3

2

t=2

3

，
解得：OH=

3

3

t+

3

3

，
∴點P的坐標為（t，

3

3

t+

3

3

）．
∵點P在拋物線y=

3

3

（x-1）²-

4 3

3

上，
∴

3

3

（t-1）²-

4 3

3

=

3

3

t+

3

3

，
解得：t₁=4，t₂=-1
∵點P在第一象限，
∴t=4；

（3）將點A向左平移2個單位到點A′，作點D關于x軸的對稱點D′，連接A′D′，交x軸于點E′，
當點E運動到點E′時，四邊形ADEF的周長最小，此時點E的坐標為（

3

7

，0）．
解題思路如下：
先用待定系數(shù)法求出BM的解析式，為y=

3

x-

3

，
然后將直線BM與拋物線的解析式組成方程組，求出它們的一個交點A的坐標，為（5，4

3

），
從而可得點A向左平移2個單位所對應的點A′的坐標，為（3，4

3

），
由點D（0，

2 3

3

）可得到該點關于x軸的對稱點D′的坐標，為（0，-

2 3

3

），
然后運用待定系數(shù)法求出直線A′D′的解析式，為y=

14 3

9

x-

2 3

3

，
然后令y=0，就可得到直線A′D′與x軸的交點E′的坐標，為（

3

7

，0）．

點評：本題主要考查了拋物線上點的坐標特征、用待定系數(shù)法求直線的解析式、平移的性質、兩點之間線段最短等知識，運用割補法是解決第（2）小題的關鍵，通過平移變換將不相連的兩條線段之和轉化為相連的兩條線段之和是解決第（3）小題的關鍵．