Question

如圖所示，O是△ABC的三條角平分線的交點，OG⊥BC，垂足為G．
（1）猜想：∠BOC與∠BAC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）∠DOB與∠GOC相等嗎？為什么？

Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）由△ABC中，三條角平分線AD、BE、CF相交于點O，可得∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，繼而可得∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB），則可證得結(jié)論；
（2）由（1）知∠AOB=90°+

1

2

∠ACB，則可得∠BOE=90°-

1

2

∠ACB，又由OC平分∠ACB，OG⊥BC，即可得∠COG=90°-

1

2

∠ACB，則可證得∠BOE=∠COG．

解答：解：（1）∠BOC=90°+

1

2

∠BAC；  
理由：∵△ABC中，三條角平分線AD、BE、CF相交于點O，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=180°-

1

2

（180°-∠BAC）=90°+

1

2

∠BAC；

（2）∠DOB與∠GOC．
理由：由（1）知∠AOB=90°+

1

2

∠ACB，
∴∠DOB=180°-∠AOB=180°-（90°+

1

2

∠ACB）=90°-

1

2

∠ACB，
又∵OC平分∠ACB，OG⊥BC，
∴∠GOC=90°-

1

2

∠ACB，
∴∠DOB=∠GOC．即∠DOB與∠GOC相等．

點評：此題考查了三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義．此題難度適中，注意掌握整體思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．