Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=﹣2x+b（b≥0）的位置隨b的不同取值而變化．

（1）已知⊙M的圓心坐標(biāo)為（4，2），半徑為2．
當(dāng)b=時(shí)，直線l：y=﹣2x+b（b≥0）經(jīng)過圓心M；
當(dāng)b=時(shí)，直線l：y=﹣2x+b（b≥0）與⊙M相切；
（2）若把⊙M換成矩形ABCD，其三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：A（2，0）、B（6，0）、C（6，2）．設(shè)直線l掃過矩形ABCD的面積為S，當(dāng)b由小到大變化時(shí)，請求出S與b的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】
（1）10；10±2
（2）

解：由題意，可知矩形ABCD頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2）．

由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)b由小到大變化時(shí)，直線l：y=﹣2x+b（b≥0）向右平移，依次掃過矩形ABCD的不同部分．

可得當(dāng)直線經(jīng)過A（2，0）時(shí)，b=4；當(dāng)直線經(jīng)過D（2，2）時(shí)，b=6；當(dāng)直線經(jīng)過B（6，0）時(shí)，b=12；當(dāng)直線經(jīng)過C（6，2）時(shí)，b=14．

①當(dāng)0≤b≤4時(shí)，S=0；

②當(dāng)4＜b≤6時(shí)，如答圖2所示．

設(shè)直線l：y=﹣2x+b與x軸交于點(diǎn)P，與AD交于點(diǎn)Q．

令y=0，可得x= ，∴AP= ﹣2；

令x=2，可得y=b﹣4，∴AQ=b﹣4．

∴S=S△APQ= APAQ= （ ﹣2）（b﹣4）= b2﹣2b+4；

③當(dāng)6＜b≤12時(shí)，如答圖3所示．

設(shè)直線l：y=﹣2x+b與x軸交于點(diǎn)P，與CD交于點(diǎn)Q．

令y=0，可得x= ，∴AP= ﹣2；

令y=2，可得x= ﹣1，∴DQ= ﹣3．

S=S梯形APQD= （DQ+AP）AD=b﹣5；

④當(dāng)12＜b≤14時(shí)，如答圖4所示．

設(shè)直線l：y=﹣2x+b與BC交于點(diǎn)P，與CD交于點(diǎn)Q．

令x=6，可得y=b﹣12，∴BP=b﹣12，CP=14﹣b；

令y=2，可得x= ﹣1，∴DQ= ﹣3，CQ=7﹣ ．

S=S矩形ABCD﹣S△PQC=8﹣ CPCQ=- b2+7b﹣41；

⑤當(dāng)b＞14時(shí)，S=S矩形ABCD=8．

綜上所述，當(dāng)b由小到大變化時(shí)，S與b的函數(shù)關(guān)系式為：

．

【解析】解：（1）①直線l：y=﹣2x+b（b≥0）經(jīng)過圓心M（4，2）時(shí)，則有：2=﹣2×4+b，∴b=10；
②若直線l：y=﹣2x+b（b≥0）與⊙M相切，如答圖1所示，應(yīng)有兩條符合條件的切線．
設(shè)直線與x軸、y軸交于A、B點(diǎn)，則A（ ，0）、B（0，b），∴OB=2OA．
由題意，可知⊙M與x軸相切，設(shè)切點(diǎn)為D，連接MD；
設(shè)直線與⊙M的一個(gè)切點(diǎn)為P，連接MP并延長交x軸于點(diǎn)G；
過P點(diǎn)作PN⊥MD于點(diǎn)N，PH⊥x軸于點(diǎn)．
易證△PMN∽△BAO，
∴PN：MN=OB：OA=2：1，
∴PN=2MN．
在Rt△PMN中，由勾股定理得：PM2=PN2+MN2 ， 解得：MN= ，PN= ，
∴PH=ND=MD﹣MN=2﹣ ，OH=OD﹣HD=OD﹣PN=4﹣ ，
∴P（4﹣ ，2﹣ ），代入直線解析式求得：b=10﹣2 ；
同理，當(dāng)切線位于另外一側(cè)時(shí)，可求得：b=10+2 ．

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解一次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大（2）當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小，以及對直線與圓的三種位置關(guān)系的理解，了解直線與圓有三種位置關(guān)系：無公共點(diǎn)為相離；有兩個(gè)公共點(diǎn)為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點(diǎn)為相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．