Question

如圖，等腰Rt△ABC中，O為斜邊AC的中點(diǎn)，∠CAB的平分線分別交BO，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，BP⊥AF于H，PC⊥BC，AE=1，PG=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：可先證得△AEO∽△AFB，可求得AF和EF，再證明△BCG≌△AEB，可得AE=BG，再證明△BPC≌△ABF，可得BP=AF，可求得PG=EF，可求得答案．

解答：解：∵O為AC中點(diǎn)，
∴∠EOA=∠FBA=90°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠OAE=∠FAB，
∴△AEO∽△AFB，
設(shè)OA=x，則AB=

2

x，
∴

AO

AB

=

AE

AF

，即

x

2 x

=

1

AF

，
∴AF=

2

，

∵△ABC為等腰三角形，O為AC中點(diǎn)
∴BC=BA，∠BCG=∠EBA=45°，
∵BP⊥AF，
∴∠CBG+∠PBA=∠EAB+∠PBA=90°，
∴∠CBG=∠EAB，
在△BCG和△AEB中，

∠BCG=∠EBA BC=BA ∠CBG=EAB

，
∴△BCG≌△AEB（ASA），
∴AE=BG=1，
∵PC⊥BC，
∴∠PCB=∠ABC=90°，
在△PBC和△FAB中，

∠PCB=∠FBA BC=BA ∠PBC=∠FAB

，
∴△PBC≌△FAB（ASA），
∴PB=AF=

2

，
∴PC=PB-BG=

2

-1，
故答案為：

2

-1．

點(diǎn)評：本題主要考查相似三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的邊對應(yīng)成比例、全等三角形的邊相等是解題的關(guān)鍵．