Question

如圖，在⊙O中，AB=4

3

，∠A=30°，AC是⊙O的直徑，AC⊥BD于點(diǎn)F．
（1）求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π）；
（2）若用陰影部分圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，求圓錐的底面半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理,圓錐的計(jì)算

專題：

分析：（1）先根據(jù)垂徑定理得出BF=

1

2

BD，由直角三角形的性質(zhì)求出BF的長，再由三角形外角的性質(zhì)得出∠BOF的度數(shù)，故可得出∠BOD即OB的長，根據(jù)扇形的面積公式即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)圓錐的底面半徑為r，先求出

BD

的長，再由圓的周長公式即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵，AC是⊙O的直徑，AC⊥BD于點(diǎn)F，
∴BF=

1

2

BD．
∵AB=4

3

，∠A=30°，
∴BF=

1

2

AB=2

3

．
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠A=30°．
∵∠BOF是△AOB的外角，
∴∠BOF=∠A+∠ABO=30°+30°=60°，
∴OB=

BF

sin60°

=

2 3

3 2

=4，∠BOD=2∠BOF=120°，
∴S_扇形AOB=

120π×42

360

=

16

3

π；

（2）設(shè)圓錐的底面半徑為r，
∵由（1）知，∠BOD=120°，OB=4，
∴

BD

的長=

120π×4

180

=

8π

3

，
∴2πr=

8π

3

，
解得r=

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理，熟知平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧是解答此題的關(guān)鍵．