Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)．

（1）求的值；

（2）若點(diǎn)是直線上方拋物線的一部分上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)F，交直線AB于點(diǎn)D，求線段的最大值

（3）在（2）的條件下，連接，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）b=－，c=3；（2）；（3）存在，G（1，）或(－5，－)或(3，－)

【解析】

（1）先根據(jù)直線求得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，代入到二次函數(shù)中，建立關(guān)于b，c的二元一次方程求解即可；

（2）設(shè)點(diǎn)P（m，－ m－m＋3），則D（m， m＋3）,用含m的代數(shù)式表示線段PD的長(zhǎng)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題求其最大值；

（3）分CD為平行四邊形的對(duì)角線和邊兩種情況，分類討論，并結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式及平行四邊形及平移的性質(zhì)，計(jì)算求解即可．

解：（1）由得， 當(dāng)時(shí)，y＝3；當(dāng)時(shí)，，

即與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

分別將代入，

得

解得，b=－，c=3．

（2）由（1）得y＝－x－x＋3，

設(shè)點(diǎn)P（m，－ m－m＋3），

則D（m， m＋3）

∴PD=－m－m＋3－(m＋3)=－m－m=－ (m＋2)＋

所以當(dāng)m＝－2時(shí)，PD最大，最大值是．

（3）存在點(diǎn)G ，使得以C、D、G、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．他們分別是：G(1，)或G(3，－)或G(－5，－)．理由如下：

由（2）得 m=-2時(shí)，點(diǎn)D(-2，)，由二次函數(shù)可求得點(diǎn)C(2，0)，對(duì)稱軸為x＝-1

設(shè)G(n，－ n－n＋3)，Q(－1，p)，CD與y軸交于點(diǎn)E，顯然E為CD中點(diǎn)．

①當(dāng)CD為對(duì)角線時(shí)，對(duì)角線QE的中點(diǎn)即為點(diǎn)E，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：

n＋（-1）=0，所以n＝1，此時(shí)點(diǎn)G（1，）

②當(dāng)CD為邊時(shí)，

i）若G在Q上邊，由平行四邊形及平移的性質(zhì)可知，點(diǎn)D向右平移4個(gè)單位，向下平移個(gè)單位到點(diǎn)C，故點(diǎn)G也同樣的平移到點(diǎn)Q， 則n＋4＝-1，則n=-5，此時(shí)點(diǎn)G(－5，－)．

ii）若G在Q下邊，由平行四邊形及平移的性質(zhì)可知，點(diǎn)D向右平移4個(gè)單位，向下平移個(gè)單位到點(diǎn)C，故點(diǎn)Q也同樣的平移到點(diǎn)G，則-1＋4＝n，則n=3，此時(shí)點(diǎn)G(3，－)．