Question

在平面直角坐標系中，A點的坐標為（0，4），B的坐標為（3，0），C（a，b）為平面直角坐標系內一點，若∠ABC=90°，且BA=BC，則ab的值為________．

Answer 1

21或-3
分析：討論：當點C在x軸上方．作CD⊥x軸，OA=4，OB=3，由于∠ABC=90°，利用等角的余角相等得到∠BAO=∠CBD，然后根據“AAS”可判斷△ABO≌△BCD，則BD=OA=4，CD=OB=3，于是C點坐標為（7，3），得到ab=21；當點C在x軸下方．如，作CE⊥x軸，與（1）證明方法一樣可證得△ABO≌△BCE，得到BE=OA=4，CE=OB=3，則OE=4-3=1，所以C點坐標為（-1，3），得到ab=-3．
解答：當點C在x軸上方．如圖，作CD⊥x軸，
∵A點的坐標為（0，4），B的坐標為（3，0），
∴OA=4，OB=3，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBD=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠CBD，
∵在△ABO和△BCD中
，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴BD=OA=4，CD=OB=3，
∴C點坐標為（7，3），
∴ab=7×3=21；
當點C在x軸下方．如，作CE⊥x軸，
與（1）證明方法一樣可證得△ABO≌△BCE（AAS），
∴BE=OA=4，CE=OB=3，
∴OE=4-3=1，
∴C點坐標為（-1，3），
∴ab=-1×3=-3．
故答案為21或-3．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應邊相等．也考查了分類討論的思想、坐標與圖形性質．