Question

（10分）若△ABC和△ADE均為等邊三角形，M、N分別是BE、CD的中點(diǎn)．
(1)當(dāng)△ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖①的位置時(shí)，求證：CD=BE，△AMN是等邊三角形；
(2) 如圖②，當(dāng)∠EAB=30°，AB＝12，AD=時(shí)，求AM的長．

 

Answer 1

（1）證明：∵△ABC和△ADE均為等邊三角形，

∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°.
∵∠BAE=∠BAC-∠EAC，∠DAC=∠EAD-∠EAC，
∴∠BAE=∠DAC.
∴△ABE≌△ACD.
∴CD=BE.    ……………………………………………………………………1分
∠ABE=∠ACD．
∵M(jìn)、N分別是BE、CD的中點(diǎn)，
即BM=BE，CN=CD.
∴BM= CN.
又AB=AC，
∴△ABM≌△ACN．
∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．  ………………………………………………2分
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠CAB=60°．
∴△AMN是等邊三角形．    …………………………………………………3分
（2）解：作EF⊥AB于點(diǎn)F，
在Rt△AEF中，
∵∠EAB=30°，AE=AD=，
∴EF=.    …………………………………………………………………4分
∵M(jìn)是BE中點(diǎn)，
作MH⊥AB于點(diǎn)H，
∴MH∥EF，MH=EF=.    ……………………………………………5分
取AB中點(diǎn)P，連接MP，則MP∥AE，MP=AE.
∴∠MPH=30°，MP=．
∴在Rt△MPH中，PH=.
∴AH=AP+PH=.   .………………………………………………………6分
在Rt△AMH中，AM=. .…………………………7分

解析