【題目】如圖,在等腰RtABC中,C=90°,AC=8,F(xiàn)是AB邊上的中點,點D,E分別在AC,BC邊上運動,且保持AD=CE.連接DE,DF,EF.在此運動變化的過程中,下列結(jié)論:

DFE是等腰直角三角形;

②四邊形CDFE不可能為正方形,

③DE長度的最小值為4;

④四邊形CDFE的面積保持不變;

CDE面積的最大值為8.

其中正確的結(jié)論是( )

A.①②③ B.①④⑤ C.①③④ D.③④⑤

【答案】B

【解析】

試題分析:解此題的關(guān)鍵在于判斷DEF是否為等腰直角三角形,作常規(guī)輔助線連接CF,由SAS定理可證CFEADF全等,從而可證DFE=90°,DF=EF.所以DEF是等腰直角三角形.可證①正確,②錯誤,再由割補法可知④是正確的;

判斷③,⑤比較麻煩,因為DEF是等腰直角三角形DE=DF,當(dāng)DF與BC垂直,即DF最小時,DE取最小值4,故③錯誤,CDE最大的面積等于四邊形CDEF的面積減去DEF的最小面積,由③可知⑤是正確的.故只有①④⑤正確.

解:連接CF;

∵△ABC是等腰直角三角形,

∴∠FCB=A=45°,CF=AF=FB;

AD=CE,

∴△ADF≌△CEF(SAS);

EF=DF,CFE=AFD;

∵∠AFD+CFD=90°

∴∠CFE+CFD=EFD=90°,

∴△EDF是等腰直角三角形(故①正確).

當(dāng)D、E分別為AC、BC中點時,四邊形CDFE是正方形(故②錯誤).

∵△ADF≌△CEF

SCEF=SADFS四邊形CEFD=SAFC,(故④正確).

由于DEF是等腰直角三角形,因此當(dāng)DE最小時,DF也最小;

即當(dāng)DFAC時,DE最小,此時DF=BC=4.

DE=DF=4(故③錯誤).

當(dāng)CDE面積最大時,由④知,此時DEF的面積最。

此時SCDE=S四邊形CEFD﹣SDEF=SAFC﹣SDEF=16﹣8=8(故⑤正確).

故選:B.

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