Question

如果一個正六邊形的面積與一個正三角形的面積相等，求正六邊形與正三角形的內(nèi)切圓的半徑之比．

Answer 1

考點：正多邊形和圓

專題：

分析：首先根據(jù)題意畫出圖形，然后如圖（1）過A作AD⊥BC于D，設(shè)正△ABC的內(nèi)切圓半徑AD=a，繼而求得此正三角形的邊長，繼而求得面積；再如圖（2）連接OA、OB，過O作OD⊥AB，設(shè)正六邊形的內(nèi)切圓半徑OD=b；同理可求得此正六邊形的面積，又由一個正三角形和一個正六邊形的面積相等，即可求得答案．

解答：解：如圖（1）過A作AD⊥BC于D，
設(shè)正△ABC的內(nèi)切圓半徑AD=a，
∴BC=AB=

AD

sin60°

=

2 3

3

a，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

×

2 3

3

a×a=

3

3

a²；
如圖（2）連接OA、OB，過O作OD⊥AB，
設(shè)正六邊形的內(nèi)切圓半徑OD=b；
∵∠AOB=

360°

6

=60°，
∴OA=AB=

OD

sin60°

=

b

sin60°

=

2 3

3

b，
∴S_△OAB=

1

2

×

2 3

3

b×b=

3

3

b²，
∴S_六邊形=6S_△OAB=6×

3

3

b²=2

3

b²，
∵S_△ABC=S_六邊形
∴

3

3

a²=2

3

b²，
∴a：b=

6

：1．
即正三角形和一個正六邊形的內(nèi)切圓半徑之比為

6

：1．

點評：本題考查了正三角形及正六邊形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合正多邊形的性質(zhì)解答．