Question

（1）已知，如圖1，BF為∠ABC的角平分線，CF為外角∠ACG的角平分線：
①若∠F=18°，求∠A=

 

；
②若∠A=n°，求∠F=

 

；（論證這個(gè)結(jié)論）
（2）如圖2，若∠ABC與∠ACG的平分線交于F₁；∠F₁BC與∠F₁CG的平分線交于F2；如此下去，∠F₂BC與∠F₂CG的平分線交于F₃；試直接寫出∠F_n與∠A的關(guān)系（n為自然數(shù)），不需要證明過程．

 

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）由外角的性質(zhì)可得∠FCG=∠F+∠FBC，∠ACG=∠ABC+∠A，再根據(jù)角平分線的定義可得到∠A=2∠F，進(jìn)一步可求得∠A和∠F；
（2）同理可知∠A=2∠F₁=4∠F₂=…=2ⁿ∠F_n．

解答：解：（1）①在△FBC中，可得∠FCG=∠F+∠FBC，
∴2∠FCG=2∠F+2∠FBC，
在△ABC中，可得∠ACG=∠ABC+∠A，
∵BF為∠ABC的角平分線，CF為外角∠ACG的角平分線，
∴∠ACG=2∠FCG，∠ABC=2∠FBC，
∴2∠FCG=2∠FBC+∠A，
∴∠A=2∠F=2×18°=36°，
故答案為：36°；
②由①知∠A=2∠F，
∴∠F=

1

2

∠A=

n°

2

，（論證過程同①）
故答案為：

n°

2

；
（2）由①可知：∠A=2∠F₁，
同理可知∠F₁=2∠F₂，∠F₂=2∠F₃，…，
∴∠A=2∠F₁=4∠F₂=…=2ⁿ∠F_n，
即∠A=2ⁿ∠F_n，
故答案為：∠A=2ⁿ∠F_n．

點(diǎn)評：本題主要考查三角形外角的性質(zhì)及角平分線的定義，由條件得到∠A和∠F的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．