Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E、F分別在AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于點O，下列結論：①∠DOC=90°，②OC=OE，③CE=DF，④tan∠OCD=，⑤S△DOC=S四邊形EOFB中，正確的有（　�。�

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：由正方形ABCD的邊長為4，AE=BF=1，利用SAS易證得△EBC≌△FCD，然后全等三角形的對應角相等，易證得①∠DOC=90°正確，③CE=DF正確；②由線段垂直平分線的性質與正方形的性質，可得②錯誤；易證得∠OCD=∠DFC，即可求得④正確；由①易證得⑤正確．

詳解：∵正方形ABCD的邊長為4，∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°．

∵AE=BF=1，∴BE=CF=4﹣1=3．

在△EBC和△FCD中，，

∴△EBC≌△FCD（SAS），∴∠CFD=∠BEC，CE=DF，故③正確，

∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，∴∠DOC=90°；故①正確；

連接DE，如圖所示，若OC=OE．

∵DF⊥EC，∴CD=DE．

∵CD=AD＜DE（矛盾），故②錯誤；

∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，∴∠OCD=∠DFC，∴tan∠OCD=tan∠DFC==，故④正確；

∵△EBC≌△FCD，∴S△EBC=S△FCD，∴S△EBC﹣S△FOC=S△FCD﹣S△FOC，即S△ODC=S四邊形BEOF．故⑤正確；

故正確的有：①③④⑤．

故選D．