【題目】已知拋物線y=a(x+3)(x﹣1)(a≠0),與x軸從左至右依次相交于A、B兩點,與y軸相交于點C,經(jīng)過點A的直線y=﹣x+b與拋物線的另一個交點為D.
(1)若點D的橫坐標為2,求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點P,使得以A、B、P為頂點的三角形與△ABC相似,求點P的坐標;
(3)在(1)的條件下,設(shè)點E是線段AD上的一點(不含端點),連接BE.一動點Q從點B出發(fā),沿線段BE以每秒1個單位的速度運動到點E,再沿線段ED以每秒個單位的速度運動到點D后停止,問當點E的坐標是多少時,點Q在整個運動過程中所用時間最少?
【答案】(1) y=﹣x2﹣2x+3;(2) P的坐標為(﹣4,﹣)和(﹣6,﹣);(3) (1,﹣4).
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)二次函數(shù)的交點式確定點A、B的坐標,求出直線的解析式,求出點D的坐標,求出拋物線的解析式;(2)作PH⊥x軸于H,設(shè)點P的坐標為(m,n),分△BPA∽△ABC和△PBA∽△ABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可;(3)作DM∥x軸交拋物線于M,作DN⊥x軸于N,作EF⊥DM于F,根據(jù)正切的定義求出Q的運動時間t=BE+EF時,t最小即可.
試題解析:(1)∵y=a(x+3)(x﹣1),
∴點A的坐標為(﹣3,0)、點B兩的坐標為(1,0),
∵直線y=﹣x+b經(jīng)過點A,
∴b=﹣3,
∴y=﹣x﹣3,
當x=2時,y=﹣5,
則點D的坐標為(2,﹣5),
∵點D在拋物線上,
∴a(2+3)(2﹣1)=﹣5,
解得,a=﹣,
則拋物線的解析式為y=﹣(x+3)(x﹣1)=﹣x2﹣2x+3;
(2)作PH⊥x軸于H,
設(shè)點P的坐標為(m,n),
當△BPA∽△ABC時,∠BAC=∠PBA,
∴tan∠BAC=tan∠PBA,即=,
∴=,即n=﹣a(m﹣1),
∴,
解得,m1=﹣4,m2=1(不合題意,舍去),
當m=﹣4時,n=5a,
∵△BPA∽△ABC,
∴=,即AB2=ACPB,
∴42=,
解得,a1=(不合題意,舍去),a2=﹣,
則n=5a=﹣,
∴點P的坐標為(﹣4,﹣);
當△PBA∽△ABC時,∠CBA=∠PBA,
∴tan∠CBA=tan∠PBA,即=,
∴=,即n=﹣3a(m﹣1),
∴,
解得,m1=﹣6,m2=1(不合題意,舍去),
當m=﹣6時,n=21a,
∵△PBA∽△ABC,
∴=,即AB2=BCPB,
∴42=,
解得,a1=(不合題意,舍去),a2=﹣,
則點P的坐標為(﹣6,﹣),
綜上所述,符合條件的點P的坐標為(﹣4,﹣)和(﹣6,﹣);
(3)作DM∥x軸交拋物線于M,作DN⊥x軸于N,作EF⊥DM于F,
則tan∠DAN===
∴∠DAN=60°,
∴∠EDF=60°,
∴DE==EF,
∴Q的運動時間t=+=BE+EF,
∴當BE和EF共線時,t最小,
則BE⊥DM,E(1,﹣4).
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【題目】水庫的平均水位為80米,在此基礎(chǔ)上,若水位變化時,把水位上升記為正數(shù);水庫管理員記錄了3月~8月水位變化的情況(單位:米):-5,-4,0,+3,+6,+8.試問這幾個月的實際水位是多少米?
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【題目】若P(m,n)與Q(n,m)表示同一個點,那么這個點一定在( )
A. 第二、四象限 B. 第一、三象限 C. 平行于x軸的直線上 D. 平行于y軸的直線上
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【題目】已知某項工程由甲乙兩隊合作12天可以完成,供需工程費用13800元,乙隊單獨完成這項工程所需時間是甲隊單獨完成這項工程所需時間的1.5倍,且甲隊每天的工程費用比乙隊多150元。
(1)甲乙兩隊單獨完成這項工程分別需要多少天?
(2)若工程管理部門決定從這兩個隊中選一個隊單獨完成這項工程,從節(jié)約資金的角度考慮,應該選擇哪個工程隊?請說明理由。
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【題目】某學校為了解學生對新聞、體育、動畫、娛樂、戲曲五類電視節(jié)目最喜愛的情況,隨機調(diào)查了若干名學生,根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)進行整理,繪制了如下的不完整統(tǒng)計圖:
請你根據(jù)以上的信息,回答下列問題:
(1) 本次共調(diào)查了_____名學生,其中最喜愛戲曲的有_____人;在扇形統(tǒng)計圖中,最喜愛體育的對應扇形的圓心角大小是______;
(2) 根據(jù)以上統(tǒng)計分析,估計該校2000名學生中最喜愛新聞的人數(shù).
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