Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AC⊥BD，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形EFGH為正方形；
（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的邊長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：在△ABC中，
∵E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，
∴EF=
同理FG=，GH=，HE=
在梯形ABCD中，
∵AB=DC，
∴AC=BD，
∴EF=FG=GH=HE
∴四邊形EFGH為菱形．
設(shè)AC與EH交于點(diǎn)M
在△ABD中，∵E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，
∴EH∥BD，同理GH∥AC
又∵AC⊥BD，
∴∠BOC=90°．
∴∠EHG=∠EMC=∠BOC=90°
∴四邊形EFGH為正方形．

（2）解：連接EG，在梯形ABCD中，
∵E、G分別是AB、DC的中點(diǎn)，
∴EG=（AD+BC）=（1+3）=2，
在Rt△HEG中，
EG²=EH²+HG²，
4=2EH²，
EH²=2，
則EH=．
即四邊形EFGH的邊長(zhǎng)為．
分析：（1）先由三角形的中位線定理求出四邊相等，然后由AC⊥BD入手，進(jìn)行正方形的判斷．
（2）連接EG，利用梯形的中位線定理求出EG的長(zhǎng)，然后結(jié)合（1）的結(jié)論求出EH²=2，也即得出了正方形EHGF的邊長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)及三角形、梯形的中位線定理，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出EH=HG=GF=FE，這是本題的突破口．