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【題目】【問題學習】小蕓在小組學習時問小娟這樣一個問題:已知α為銳角,且sinα= ,求sin2α的值.小娟是這樣給小蕓講解的:

構造如圖1所示的圖形,在O中,AB是直徑,點C在O上,所以ACB=90°,作CDAB于D.設BAC=α,則sinα= ,可設BC=x,則AB=3x,….

【問題解決】

(1)請按照小娟的思路,利用圖1求出sin2α的值;(寫出完整的解答過程)

(2)如圖2,已知點M,N,P為O上的三點,且P=β,sinβ= ,求sin2β的值.

【答案】(1)sin2α=;(2)sin2β=sinMON=

【解析】

試題分析:(1)如圖1中,O中,AB是直徑,點C在O上,所以ACB=90°,作CDAB于D.設BAC=α,則sinα= ,可設BC=x,則AB=3x.利用面積法求出CD,在RtCOD中,根據sin2α= ,計算即可.(2)如圖2中,連接NO,并延長交O于點Q,連接MQ,MO,過點M作MRNO于點R.首先證明MON=2Q=2β,在RtQMN中,由sinβ=,設MN=3k,則NQ=5k,易得OM=NQ= ,可得MQ==4k,由MNMQ=NQMR,求出在RtMRO中,根據sin2β=sinMON=,計算即可.

試題解析:(1)如圖1中,O中,AB是直徑,點C在O上,所以ACB=90°,作CDAB于D.設BAC=α,則sinα=,可設BC=x,則AB=3x.

AC== =2x,

ACBC=ABCD,

CD= x,

OA=OC,

∴∠OAC=OCA=α,

∴∠COB=2α,

sin2α==

(2)如圖2中,連接NO,并延長交O于點Q,連接MQ,MO,過點M作MRNO于點R.

O中,NMQ=90°,

∵∠Q=P=β,∴∠MON=2Q=2β,

在RtQMN中,sinβ=,

設MN=3k,則NQ=5k,易得OM=NQ=,

MQ==4k,

,

3k4k=5kMR

MR= ,

在RtMRO中,sin2β=sinMON=

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