【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),對(duì)稱軸與拋物線相交于點(diǎn)M,與x軸相交于點(diǎn)N.點(diǎn)P是線段MN上的一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PECP交x軸于點(diǎn)E.

(1)直接寫出拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是

(2)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O(原點(diǎn))重合時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)點(diǎn)P從M運(yùn)動(dòng)到N的過程中,求動(dòng)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)的路徑長.

【答案】(1)M(1,4);(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(1,)或(1,;(3)E的運(yùn)動(dòng)的路徑長為:

【解析】

試題分析:(1)將解析式配成頂點(diǎn)式即可.(2)當(dāng)點(diǎn)E與O重合時(shí),設(shè)PN=m,過點(diǎn)C作CFMN于F,由ENP∽△PFC用相似比例建立方程解之即可.(3)找到左右兩個(gè)極端位置即可.P在M點(diǎn)時(shí),E在右邊最運(yùn)處,這個(gè)時(shí)候求出EN為對(duì)稱軸右邊的路徑長度;E點(diǎn)在左側(cè)時(shí),設(shè)EN=y,PN=x,由ENP∽△PFC列出比例方程,得到y(tǒng)關(guān)于x的二次函數(shù),配方求出最大值,再加上右邊路徑長度即為總路徑長度.

試題解析:(1)y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,

M(1,4);

(2)當(dāng)點(diǎn)E與O重合時(shí),EN=1,設(shè)PN=m,

過點(diǎn)C作CFMN,垂足為F,如圖1,

∵∠EPC=90°,

∴∠EPN+NEP=EPN+CPF=90°,

∴∠CPF=PEN,

∴△ENP∽△PFC

,即:

解得:m=

點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(1,)或(1,

(3)當(dāng)點(diǎn)P與M重合時(shí),如圖2,

ENM∽△MFC可知,,

EN=4,

即當(dāng)點(diǎn)P從M運(yùn)動(dòng)到F時(shí),點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長EN為4;

當(dāng)點(diǎn)P從F運(yùn)動(dòng)到N時(shí),點(diǎn)E從點(diǎn)N向左運(yùn)動(dòng)到某最遠(yuǎn)點(diǎn)后,回到點(diǎn)N結(jié)束.如圖3,

設(shè)EN=y,PN=x,

ENP∽△PFC可知, ,即:,

y=

當(dāng)x= 時(shí),y有最大值,為 ;

E的運(yùn)動(dòng)的路徑長為:

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(1)求A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù);
(2)如圖2,動(dòng)點(diǎn)M、N、P分別從原點(diǎn)O、A、B同時(shí)出發(fā),其中M、N均向右運(yùn)動(dòng),速度分別為2個(gè)單位長度/秒,7個(gè)單位長度/秒,點(diǎn)P向左運(yùn)動(dòng),速度為8個(gè)單位長度/秒,設(shè)它們運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,問當(dāng)t為何值時(shí),點(diǎn)M、N之間的距離等于P、M之間的距離;

(3)如圖3,將(2)中的三動(dòng)點(diǎn)M、N、P的運(yùn)動(dòng)方向改為與原來相反的方向,其余條件不變,設(shè)Q為線段MN的中點(diǎn),R為線段OP的中點(diǎn),求22RQ﹣28RO﹣5PN的值.

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【題目】某通訊公司推出①,②兩種通訊收費(fèi)方式供用戶選擇,其中一種有月租費(fèi),另一種無月租費(fèi),且兩種收費(fèi)方式的通訊時(shí)間x()與費(fèi)用y()之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

(1)有月租的收費(fèi)方式是________(”),月租費(fèi)是________元;

(2)分別求出①②兩種收費(fèi)方式中y與自變量x之間的函數(shù)表達(dá)式;

(3)請(qǐng)你根據(jù)用戶通訊時(shí)間的多少,給出經(jīng)濟(jì)實(shí)惠的選擇建議.

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(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)C在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為x,且x是方程2x+1= x﹣8的解
①求線段BC的長;
②在數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P,使PA+PB=BC?求出點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù);若不存在,說明理由.

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構(gòu)造如圖1所示的圖形,在O中,AB是直徑,點(diǎn)C在O上,所以ACB=90°,作CDAB于D.設(shè)BAC=α,則sinα= ,可設(shè)BC=x,則AB=3x,….

【問題解決】

(1)請(qǐng)按照小娟的思路,利用圖1求出sin2α的值;(寫出完整的解答過程)

(2)如圖2,已知點(diǎn)M,N,P為O上的三點(diǎn),且P=β,sinβ= ,求sin2β的值.

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x

3

2

1

0

1

y

6

0

4

6

6

給出下列說法:

拋物線與y軸的交點(diǎn)為(0,6);

拋物線的對(duì)稱軸在y軸的左側(cè);

拋物線一定經(jīng)過(3,0)點(diǎn);

在對(duì)稱軸左側(cè)y隨x的增大而減增大.

從表中可知,其中正確的個(gè)數(shù)為(

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