Question

【題目】如圖，直線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)A，拋物線經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）將△ABC以每秒1個(gè)單位的速度沿射線AB方向平移，平移后的三角形記為△DEF，平移時(shí)間為t秒，0≤t≤5，平移過(guò)程中EF與拋物線交于點(diǎn)G．

①當(dāng)FG：GE＝3：2時(shí)，求t的值；

②△DEF與△AOB重疊部分面積為S，直接寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣4；（2）①t＝；②S＝

【解析】

（1）點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（0，﹣4）、（3，0），c＝﹣4，拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+bx﹣4，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上即可求解；

（2）①設(shè)點(diǎn)E（x，t），FG：GE＝3：2，則3EG＝2FG，即3（3+﹣x）＝2（x+2﹣），即可求解；

②當(dāng)0＜t≤2時(shí)，S＝S△BRF﹣S△OHR；②當(dāng)2＜t≤5時(shí)，S＝OB×|yD|，即可求解．

解：（1）直線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)A，

令y＝0，則x＝3，令x＝0，則y＝﹣4，

故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（0，﹣4）、（3，0），

c＝﹣4，拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+bx﹣4，

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式并解得：b＝﹣，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣x﹣4；

（2）設(shè)△ABC沿AB移動(dòng)了t個(gè)單位，則向右移動(dòng)了t個(gè)單位、向上移動(dòng)了t個(gè)單位，

則點(diǎn)E、F、D的坐標(biāo)分別為：（3+t，t），（﹣2+t，t）、（t，﹣4+t）；

①設(shè)點(diǎn)E（x，t），

FG：GE＝3：2，則3EG＝2FG，

即3（3+﹣x）＝2（x+2﹣），

化簡(jiǎn)得：x＝1+，

將點(diǎn)E（1+，）的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并整理得：

3t2+3t﹣50＝0，

解得：t＝（不合題意的值已舍去）；

②當(dāng)0＜t≤2時(shí)，

如下圖所示，設(shè)直線FD與x、y軸分別交于點(diǎn)R、H，

由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)可得，直線AC的表達(dá)式為：y＝﹣2x﹣4，

則設(shè)直線FD的表達(dá)式為：y＝﹣2x+b，

將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入上式并解得：b＝2t﹣4，

故直線FD的表達(dá)式為：y＝﹣2x+2t﹣4，

則點(diǎn)R、H的坐標(biāo)分別為：（t﹣2，0）、（2t﹣4）；

S＝S△BRF﹣S△OHR

＝BR×|yD|﹣×OR×OH

＝（3﹣t+2）（﹣t+4）﹣（2﹣t）（4﹣2t）

＝﹣t2+6；

②當(dāng)2＜t≤5時(shí)，

S＝OB×|yD|＝×3×（4﹣t）＝﹣t+6；

綜上，S＝．