Question

（2012•廣安）如圖，已知雙曲線y=

k

x

和直線y=mx+n交于點A和B，B點的坐標是（2，-3），AC垂直y軸于點C，AC=

3

2

．
（1）求雙曲線和和直線的解析式．
（2）求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）把點B的坐標代入雙曲線解析式，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式解答；根據(jù)AC=

3

2

可得點A的橫坐標，然后求出點A的坐標，再利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式求解直線的解析式；
（2）設直線與x軸的交點為D，利用直線的解析式求出點D的坐標，從而得到OD的長度，再根據(jù)S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD，列式計算即可得解．

解答：解：（1）∵點B（2，-3）在雙曲線上，
∴

k

2

=-3，
解得k=-6，
∴雙曲線解析式為y=-

6

x

，
∵AC=

3

2

，
∴點A的橫坐標是-

3

2

，
∴y=-

6

- 3 2

=4，
∴點A的坐標是（-

3

2

，4），
∴

- 3 2 m+n=4 2m+n=-3

，
解得

m=-2 n=1

，
∴直線的解析式為y=-2x+1；

（2）如圖，設直線與x軸的交點為D，
當y=0時，-2x+1=0，
解得x=

1

2

，
所以，點D的坐標為（

1

2

，0），
∴OD=

1

2

，
S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD=

1

2

×

1

2

×4+

1

2

×

1

2

×3=1+

3

4

=

7

4

．

點評：本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)y=

k

x

中k的幾何意義．這里體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．