Question

【題目】如圖，E是□ABCD的邊CD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

(1)求證：AE=EF；

(2)若∠BAF=90°，BC=15，EF=9，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）CD=24

【解析】

（1）要證明AE=EF，只要證明△AED≌△FEC即可，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定即可解答本題；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論和勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)可以求得CD的長(zhǎng)．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E時(shí)CD的中點(diǎn)，
∴AD∥BF，ED=EC，
∴∠D=∠ECF，
在△AED和△FEC中，
∠D=∠ECF，ED=EC，∠AED=∠FEC，
∴△AED≌△FEC（ASA），
∴AE=EF；
（2）由（1）知△AED≌△FEC，
∴AD=FC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAF=90°，BC=15，EF=9，AE=AF，
∴AD=BC=15，AB=CD，AF=2EF=18，
∴BF=2BC=30，
∴在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB=，
∴CD=AB=24．