Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與直線y=x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）兩點，且拋物線經(jīng)過點C（5，0）．

（1）求拋物線的解析式．

（2）點P是直線上方的拋物線上的一個動點，求△ABP的面積最大時的P點坐標(biāo)．

（3）若點P是拋物線上的一個動點（不與點A點B重合），過點P作直線PD⊥x軸于點D，交直線AB于點E．當(dāng)PE=2ED時，求P點坐標(biāo)；

（4）設(shè)拋物線與y軸交于點F，在拋物線的第一象限內(nèi)，是否存在一點M，使得AM被FC平分？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+4x+5；（2）△ABP的面積最大時，P點坐標(biāo)為；（3）當(dāng)PE=2ED時，P點坐標(biāo)為（2，9）或（6，﹣7）；（4）在拋物線上存在一點M，當(dāng)其坐標(biāo)為（1,8）或時，AM被FC平分．

【解析】

（1）先根據(jù)直線解析式求出B點坐標(biāo)，再根據(jù)A點和C點在軸上寫出交點式，最后利用待定系數(shù)法求解并化為一般式即得；

（2）過點P作y軸的平行線交AB于點H，先設(shè)P點坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)P點坐標(biāo)表示的“鉛垂高”PH和點A及點B的水平距離，再根據(jù)“三角形面積=鉛垂高點A及點B的水平距離”列出二次函數(shù)關(guān)系，最后即可根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出面積最大時點P的坐標(biāo)；

（3）先設(shè)P點坐標(biāo)，根據(jù)PD⊥x軸表示E點和D點的坐標(biāo)，再根據(jù)PE=2ED列出方程求解即得；

（4）先根據(jù)F點與C點坐標(biāo)求出直線FC的解析式，再設(shè)M點的坐標(biāo)并表示出AM的中點，最后將中點坐標(biāo)代入直線FC的解析式解方程即可．

（1）將交點B（4，m）代入直線y=x+1得B（4，5），

由題意可設(shè)拋物線解析式y=a（x+1）（x﹣5），

把B（4，5）代入得，∴，即；

（2）過點P作y軸的平行線交AB于點H，如下圖：

設(shè)P點坐標(biāo)為（，）則H點的坐標(biāo)為（，）

∴

∵A（﹣1，0），B（4，5）

∴=4﹣（﹣1）=5

∴

∴當(dāng)時△ABP的面積最大

∴P點坐標(biāo)為

∴△ABP的面積最大時P點坐標(biāo)為；

（3）設(shè)P點坐標(biāo)為（，）則E點的坐標(biāo)為（，）

∵P為拋物線上一點

∴存在P點在直線AB上方和下方兩種情況．

∴由題意得，，

∵PE=2ED

∴，所以

解得：x1=﹣1（舍），x2=2，x3=6，

當(dāng)x=2時，y=9；當(dāng)x=6時，y=﹣7．

即當(dāng)PE=2ED時，求P點坐標(biāo)為（2，9）或（6，-7）；

（4）存在一點M，使得AM被FC平分，理由如下：

若AM被FC平分，則AM的中點在直線FC上．

∵F（0，4），C（5，0）

∴直線FC的表達(dá)式為：yx+4

設(shè)M（x，﹣x2+4x+5），A（﹣1，0）

∴AM中點坐標(biāo)為，

將坐標(biāo)代入解得：，

把代入拋物線解析式得

把代入拋物線解析式得

∴當(dāng)點的坐標(biāo)為（1,8）或時，AM被FC平分．