Question

【題目】如圖，是⊙的直徑，點(diǎn)分別在兩個(gè)半圓上（不與點(diǎn)重合），的長(zhǎng)分別是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

（1）的值為_____；

（2）連接三者之間的等量關(guān)系為_____．

Answer 1

【答案】 ．

【解析】

（1）由方程有實(shí)數(shù)根可得出≥0，化簡(jiǎn)得（m-5）2≤0，由偶次方的非負(fù)性即可求出m的值；
（2）由（1）可得出AD=BD，將△ADC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得△BDE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可得出點(diǎn)C、B、E三點(diǎn)共線且△CDE為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出AC+BC=CD．

解：（1）∵AD、BD的長(zhǎng)分別是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴b2-4ac≥0，即（-10）2-4×1×（m2-10m+225）≥0，
化簡(jiǎn)整理，得：m2-10m+25≤0，即（m-5）2≤0．
又∵（m-5）2≥0，
∴m=5．

故答案為：5；
（2）由（1）得，當(dāng)m=5時(shí)，b2-4ac=0，∴AD=BD．
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°．
將△ADC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得△BDE，如圖所示．

∴△ADC≌△BDE，
∴∠DAC=∠DBE，CD=ED，∠ADC=∠BDE．
∵∠DAC+∠DBC=180°，
∴∠DBE+∠DBC=180°，
∴點(diǎn)C、B、E三點(diǎn)共線．
∵∠ADC+∠CDB=90°，
∴∠CDE=∠CDB+∠BDE=90°．
又∵CD=ED，
∴△CDE為等腰直角三角形．
∴CE=CD，
即AC+BC=CD．

故答案為：AC+BC=CD．