Question

【題目】如圖，已知A為∠POQ的邊OQ上一點(diǎn)，以A為頂點(diǎn)的∠MAN的兩邊分別交射線OP于M、N兩點(diǎn)，且∠MAN＝∠POQ＝α（α為銳角）．當(dāng)∠MAN以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，AM邊從與AO重合的位置開始，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（∠MAN保持不變）時(shí)，設(shè)OM＝x，ON＝y（y＞x≥0），△AOM的面積為s，且cosα，OA是方程2z2﹣21z+10＝0的兩根．

（1）當(dāng)∠MAN旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，求點(diǎn)N移動(dòng)的距離；

（2）求證：AN2＝ONMN；

（3）試求y與x的函數(shù)關(guān)系及自變量的x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)N移動(dòng)的距離為10；（2）見解析；（3）y＝，x的取值范圍是0≤x＜10．

【解析】

（1）當(dāng)AM邊與AO重合的位置時(shí)，△OAN是等邊三角形，求此時(shí)的ON，當(dāng)∠MAN旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，△OAN是直角三角形，解直角三角形求ON，作差即可；（2）根據(jù)∠MAN＝∠POQ＝α，公共角∠MNA＝∠ONA，判斷△OAN∽△ANM，利用相似比證題；（3）過A作AD⊥OP，垂足為D，解Rt△OAD求AD，OD，在Rt△ADN中，利用勾股定理求x、y的函數(shù)關(guān)系式．

解：

（1）解方程2z2﹣21z+10＝0，得，

z1＝，z2＝10，

∴cosα＝，OA＝10，

∴α＝60°，

∵∠MAN＝∠POQ＝α，當(dāng)∠MAN以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，AM邊從與AO重合的位置時(shí)，△OAN是等邊三角形，

ON＝OA＝10，

當(dāng)∠MAN旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，△OAN是直角三角形，

∵OA＝10，∠AON＝60°，

得ON＝20，

故點(diǎn)N移動(dòng)的距離為10；

（2）∵∠MAN＝∠POQ＝α，∠MNA＝∠ONA，

∴△OAN∽△AMN，

∴，

即AN2＝ONMN；

（3）過A作AD⊥OP，垂足為D，在Rt△OAD中，OD＝OAcos60°＝10×＝5，AD＝OAsin60°＝，

∴DN＝ON﹣OD＝y﹣5，

在Rt△ADN中，AN2＝AD2+DN2＝75+（y﹣5）2，

又由（2）得AN2＝ONMN，即y2﹣10y+100＝y（y﹣x），

整理得y＝，

∵y＞0，

故10﹣x＞0，即x＜10．

∵x≥0，

∴x的取值范圍是0≤x＜10．