Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°；點(diǎn)P是射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），BP與AC相交于點(diǎn)E，設(shè)AP=x．
（1）求AC的長(zhǎng)；
（2）如果△ABP和△BCE相似，請(qǐng)求出x的值；
（3）當(dāng)△ABE是等腰三角形時(shí)，求x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F，在直角△ABF中運(yùn)用三角函數(shù)即可求得AF的長(zhǎng)，再在直角△ACF中，根據(jù)勾股定理即可求解；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BC于G，在直角△BPG中，根據(jù)勾股定理即可求得：BP．根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求得x的值；
（3）當(dāng)△ABE是等腰三角形時(shí)，應(yīng)分為，AE=AB，BE=AB，AB=AE（根據(jù)∠BAE是直角，可得這種情況不可能）幾種情況討論．
解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F（1分）
在Rt△AFB中，∠AFB=90°，∠ABF=60°
∴AF=ABsin∠ABF=4sin60°=4×=，
BF=ABcos∠ABF=4cos60°=4×
在Rt△AFC中，∠AFC=90°
∴（1分）

（2）過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BC于G，在Rt△BPG中，∠PGB=90°，
∴（1分）
如果△ABP和△BCE相似，
∵∠APB=∠EBC
又∵∠BAP=∠BCD＞∠ECB（1分）
∴∠ABP=∠ECB
∴即
解得（不合題意，舍去）
∴x=8（1分）

（3）①當(dāng)AE=AB=4時(shí)
∵AP∥BC，
∴
即，
解得，
②當(dāng)BE=AB=4時(shí)
∵AP∥BC，
∴，
即，
解得（不合題意，舍去）
③在Rt△AFC中，∠AFC=90°
∵，
在線段FC上截取FH=AF，
∴∠FAE＞∠FAH=45°
∴∠BAE＞45°+30°＞60°=∠ABC＞∠ABE
∴AE≠BE．
綜上所述，當(dāng)△ABE是等腰三角形時(shí)，或
點(diǎn)評(píng)：此題是一個(gè)綜合性很強(qiáng)的題目，主要考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形相似、解直角三角形、方程等知識(shí)．難度較大，有利于培養(yǎng)同學(xué)們鉆研和探索的問(wèn)題的精神