Question

如圖，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，點E、F分別是AB、AD上的動點，且滿足BE=AF，接連EF、EC、CF．
（1）求證：△EFC是等邊三角形；
（2）試探究△AEF的周長是否存在最小值？如果不存在，請說明理由；如果存在，請計算出△AEF周長的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用菱形的性質(zhì)首先得出△ABC是等邊三角形，進而得出△AFC≌△BEC，即可得出△EFC是等邊三角形；
（2）利用當(dāng)CE⊥AB時CE最短，由△CEF是等邊三角形，EF也是最短的．CE是邊長為2等邊△ABC的高，即可得出△AEF周長的最小值．

解答：（1）證明：連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠1=∠2=

1

2

∠BAD，AD∥BC，AB=BC，
∴∠B+∠BAD=180°，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠1=∠2=60°，
∵AB=BC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC，
在△AFC和△BEC中，

AF=BE ∠B=∠2 AC=BC

，
∴△AFC≌△BEC（SAS），
∴FC=EC，∠4=∠3，
∵AD∥CB，
∴∠4+∠5=∠2=60°，
∴∠3+∠5=60°，
∴△EFC是等邊三角形；

（2）解：△AEF的周長有最小值，
理由：當(dāng)CE⊥AB時CE最短，由△CEF是等邊三角形，
∴EF也是最短的．
CE是邊長為2等邊△ABC的高，
∴CE=

3

，EF=

3

，
所以AE+AF+EF=2+

3

．
∴△AEF周長的最小值為：2+

3

．

點評：此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)等知識，根據(jù)題意得出EF最小時則△AEF的周長最小得出是解題關(guān)鍵．