Question

如圖，矩形紙片ABCD中，AB=

6

，BC=

10

．第一次將紙片折疊，使點B與點D重合，折痕與BD交于點O₁；O₁D的中點為D₁，第二次將紙片折疊使點B與點D₁重合，折痕與BD交于點O₂；設O₂D₁的中點為D₂，第三次將紙片折疊使點B與點D₂重合，折痕與BD交于點O₃，…．按上述方法折疊，第n次折疊后的折痕與BD交于點O_n，則BO₁=

 

，BO_n=

 

．

Answer 1

分析：（1）結(jié)合圖形和已知條件，可以推出BD的長度，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，即可得出O₁點為BD的中點，很容易就可推出O₁B=2；
（2）依據(jù)第二次將紙片折疊使點B與點D₁重合，折痕與BD交于點O₂，O₁D的中點為D₁，可以推出O₂D₁=BO₂=

4- BO1 2

2

=

32-1

22×2-3

；以此類推，即可推出：BO_n=

3n-1

22n-3

．

解答：解：∵矩形紙片ABCD中，AB=

6

，BC=

10

，
∴BD=4，
（1）當n=1時，
∵第一次將紙片折疊，使點B與點D重合，折痕與BD交于點O₁，
∴O₁D=O₁B=2，
∴BO₁=2=

31-1

22×1-3

；

（2）當n=2時，
∵第二次將紙片折疊使點B與點D₁重合，折痕與BD交于點O₂，O₁D的中點為D₁，
∴O₂D₁=BO₂=

4- BO1 2

2

=

3

2

=

32-1

22×2-3

，
∵設O₂D₁的中點為D₂，第三次將紙片折疊使點B與點D₂重合，折痕與BD交于點O₃，
∴O₃D₂=O₃B=

3- BO2 2

2

=

33-1

22×3-3

，
∴以此類推，當n次折疊后，BO_n=

3n-1

22n-3

．

點評：本題考查圖形的翻折變換，解直角三角形的有關(guān)知識，解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)推出結(jié)論