Question

如圖，直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B（a，0），點(diǎn)C（0，b），點(diǎn)A在第一象限．若a，b滿足（a-t）²+|b-t|=0（t＞0）．
（1）證明：OB=OC；
（2）如圖1，連接AB，過A作AD⊥AB交y軸于D，在射線AD上截取AE=AB，連接CE，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)，連接AF，OA，當(dāng)點(diǎn)A在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)（AD不過點(diǎn)C）時(shí)，證明：∠OAF的大小不變；
（3）如圖2，B′與B關(guān)于y軸對稱，M在線段BC上，N在CB′的延長線上，且BM=NB′，連接MN交x軸于點(diǎn)T，過T作TQ⊥MN交y軸于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a=t，b=t，推出a=b即可；
（2）延長AF至T，使TF=AF，連接TC，TO，證△TCF≌△AEF，推出CT=AE，∠TCF=∠AEF，再證△TCO≌△ABO，推出TO=AO，∠TOC=∠AOB，求出△TAO為等腰直角三角形即可；
（3）連接MQ，NQ，BQ，B′Q，過M作MH∥CN交x軸于H，證△NTB′≌△MTH，推出TN=MT，證△NQB′≌△MQB，推出∠NB′Q=∠CBQ，求出△BQB′是等腰直角三角形即可．

解答：（1）解：∵a，b滿足（a-t）²+|b-t|=0（t＞0）．
∴a-t=0，b-t=0，
∴a=t，b=t，
∴a=b，
∵B（t，0），點(diǎn)C（0，t）
∴OB=OC；

（2）證明：延長AF至T，使TF=AF，連接TC，TO，
∵F為CE中點(diǎn)，
∴CF=EF，
在△TCF和△AEF中

CF=EF ∠CFT=∠EFA FT=AF

∴△TCF≌△AEF（SAS），
∴CT=AE，∠TCF=∠AEF，
∴TC∥AD，
∴∠TCD=∠CDA，
∵AB=AE，
∴TC=AB，
∵AD⊥AB，OB⊥OC，
∴∠COB=∠BAD=90°，
∴∠ABO+∠ADO=180°，
∵∠ADO+∠ADC=180°，
∴∠ADC=∠ABO，
∵∠TCD=∠CDA，
∴∠TCD=∠ABO，
在△TCO和△ABO中

TC=AB ∠TCO=∠ABO OC=OB

∴△TCO≌△ABO（SAS），
∴TO=AO，∠TOC=∠AOB，
∵∠AOB+∠AOC=90°，
∴∠TOC+∠AOC=90°，
∴△TAO為等腰直角三角形，
∴∠OAF=45°；

（3）解：連接MQ，NQ，BQ，B′Q，過M作MH∥CN交x軸于H，
∵B和B′關(guān)于y軸對稱，C在y軸上，
∴CB=CB′，
∴∠CBB′=∠CB′B，
∵M(jìn)H∥CN，
∴∠MHB=∠CB′B，
∴∠MHB=∠CBB′，
∴MH=BM，
∵BM=B′N，
∴MH=B′N，
∵M(jìn)H∥CN，
∴∠NB′T=∠MHT，
∵在△NTB′和△MTH中

∠NB′T=∠MHT ∠B′TN=∠MTH B′N=MH

∴△NTB′≌△MTH（AAS），
∴TN=MT，又TQ⊥MN，
∴MQ=NQ，
∵CQ垂直平分BB′，
∴BQ=B′Q，
∵在△NQB′和△MQB中

B′N=BM B′Q=BQ NQ=MQ

∴△NQB′≌△MQB （SSS），
∴∠NB′Q=∠CBQ，
而∠NB′Q+∠CB′Q=180°
∴∠CBQ+∠CB′Q=180°
∴∠B′CB+∠B′QB=180°，
又∵BO=CO，B′O=CO，
∴∠B′CB=90°，
∴∠B′QB=90°
∴△BQB′是等腰直角三角形，
∴OQ=OB=t，
∴Q（0，-t）．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，相等垂直平分線，偶次方，絕對值等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用．