Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．點D、E、F分別是邊AB、BC、AC的中點，連接DE、DF，動點P，Q分別從點A、B同時出發(fā)，運動速度均為1cm/s，點P沿A-F-D的方向運動到點D停止；點Q沿B-C的方向運動，當點P停止運動時，點Q也停止運動．在運動過程中，過點Q作BC的垂線交AB于點M，以點P，M，Q為頂點作平行四邊形PMQN．設平行四邊形邊形PMQN與矩形FDEC重疊部分的面積為y（cm²）（這里規(guī)定線段是面積為0有幾何圖形），點P運動的時間為x（s）
（1）當點P運動到點F時，CQ=

 

cm，MQ=

 

cm；
（2）在點P從點F運動到點D的過程中，某一時刻，點P落在MQ上，求此時BQ的長度；
（3）當點P在線段FD上運動時，求y與x之間的函數(shù)關系式．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）當點P運動到點F時，求出AF=FC=3cm，BQ=AF=3cm，PQ∥AC，可得出

MQ

AC

=

BQ

BC

，代入可求出MQ，得出答案；
（2）根據(jù)在點P從點F運動到點D的過程中，點P落在MQ上得出方程t+t-3=8，求出即可；
（3）求出DE=

1

2

AC=3，DF=

1

2

BC=4，證△MBQ∽△ABC，求出MQ=

3

4

x，分為三種情況：①當3≤x＜4時，重疊部分圖形為平行四邊形，根據(jù)y=PN•PD代入求出即可；②當4≤x＜

11

2

時，重疊部分為矩形，根據(jù)圖形得出y=3[（8-x）-（x-3）]；③當

11

2

≤x≤7時，重疊部分圖形為矩形，根據(jù)圖形得出y=3[（x-3）-（8-x）]，求出即可．

解答：解：（1）當點P運動到點F時，
∵F為AC的中點，AC=6cm，
∴AF=FC=3cm，
∵P和Q的運動速度都是1cm/s，
∴BQ=AF=3cm，
∴CQ=8cm-3cm=5cm，
∵MQ⊥BC，∠ACB=90°，
∴MQ∥AC，
∴

MQ

AC

=

BQ

BC

，
即

MQ

6

=

3

8

，
∴MQ=

9

4

，
故答案為：5；

9

4

；
（2）設在點P從點F運動到點D的過程中，點P落在MQ上，如圖1，
則x+x-3=8，
x=

11

2

，
BQ的長度為

11

2

×1=

11

2

（cm）；
（3）∵D、E、F分別是AB、BC、AC的中點，
∴DE=

1

2

AC=

1

2

×6=3，
DF=

1

2

BC=

1

2

×8=4，
∵MQ⊥BC，
∴∠BQM=∠C=90°，
∵∠QBM=∠CBA，
∴△MBQ∽△ABC，
∴

BQ

BC

=

MQ

AC

，
∴

x

8

=

MQ

6

，MQ=

3

4

x，
分為三種情況：
①當3≤x＜4時，重疊部分圖形為平行四邊形，如圖2，

y=PN•PD=

3

4

x（7-x），y=-

3

4

x²+

21

4

x；
②當4≤x＜

11

2

時，重疊部分為矩形，如圖3，

y=3[（8-x）-（x-3）]，即y=-6x+33；
③當

11

2

≤x≤7時，重疊部分圖形為矩形，如圖4，

y=3[（x-3）-（8-x）]，即y=6x-33，
綜上所述，當3≤x＜4時，y=-

3

4

x²+

21

4

，
當4≤x＜

11

2

時，y=-6x+33；
當

11

2

≤x≤7時，y=6x-33，
所以y與x之間的函數(shù)關系式是：y=

- 3 4 x2+ 21 4 (3≤x＜4) -6x+33(4≤x＜ 11 2 ) 6x-33( 11 2 ≤x≤7)

．

點評：本題主要考查了函數(shù)的應用及矩形、平行四邊形的性質(zhì)和三角形的中位線的綜合應用，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行計算的能力，在第（3）中正確分類討論是解題的關鍵．