Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC于E，交BC于D．求證：
（1）D是BC的中點(diǎn)；
（2）BE•AC=AD•BC．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：證明題

分析：（1）由AB為圓O的直徑，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到AD垂直與BC，再由AB=AC，利用三線合一性質(zhì)即可得證；
（2）由圓周角定理得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)公共角，得到三角形BEC與三角形ACD相似，由相似得比例，變形即可得證．

解答：證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴D是BC的中點(diǎn)；　
（2）∵∠CBE與∠CAD是同弧所對(duì)的圓周角，
∴∠CBE=∠CAD，
又∵∠BCE=∠ACD，
∴△BEC∽△ADC　　　　
∴

BE

AD

=

BC

AC

，
∴BE•AC=AD•BC．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及圓周角定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．